Пример не непрерывного функционала

O-L-A

Помогите построить пример не непрерывного функционала. Как я понял, там не обойтись без базиса Гамеля

O-L-A

естественно, имеется в виду линейный функционал :o

mtk79

походу, результат любимой команды будет сегодня не последним Вашим разочарованием

shpanenoc

Википедия считает, и я с ней не спорю, что в в сепарабельном пространстве всякий линейный функционал непрерывен. Примеры из несепарабельных, думаю, тебе не интересны?

O-L-A

спасибо за внимание всем) но вроде нашел уже=)

O-L-A

думаю, переживу.

roza200611

о вроде нашел уже
дык поделись с общественностью, плиз

assasin

в сепарабельном пространстве всякий линейный функционал непрерывен
Это неправда. (Всякий линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.)

lenmas

Это неправда. (Всякий линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.)
+1. Тоже резануло глаз. Только топология еще должна быть согласована с линейной структурой (в дискретной топологии никто вообще не непрерывен, кроме тривиального).

tester1

Как я понял, там не обойтись без базиса Гамеля
Это на бесконечномерном гильбертовом пространстве так. По крайней мере, мой научрук подозревает, что существование разрывного функционала на бесконечномерном гильбертовом пространстве равносильно аксиоме выбора.
На нормированном неполном пример строится, конечно, на раз-два. Рассмотрим линейное пространство [math]$C^1[0,1]$[/math] всех вещественных функций на [0,1] с непрерывной первой производной. Введём на этом пространстве норму
[math]$\|f\|=\sup\limits_{t\in[0,1]}|f(t)|$[/math]. Проверьте в качестве простого упражнения, что это действительно норма. Пространство получилось сепарабельным, потому что является подпространством сепарабельного пространства [math]$C[0,1]$[/math], которое сепарабельно потому, что в нём плотно можество всех многочленов с рациональными коэффициентами (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса).
Функционал [math]$f\longmapsto G(f)=f'(0)$[/math] разрывен. Например, последовательность [math]$f_n(x)=\frac{1}{n}\sin(nx)$[/math] сходится к нулю, в то время как [math]$G(f_n)$[/math] к нулю не сходится.

tester1

Википедия считает, и я с ней не спорю, что в в сепарабельном пространстве всякий линейный функционал непрерывен.
Википедия отправляется на пересдачу.

tester1

(Всякий линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.)
Ай-ай, ай... Функционал [math]$f\longmapsto f(0)$[/math] на рассмотренном выше пространстве непрерывен, поскольку из равномерной сходимости последовательности функций следует поточечная.
Очевидно, пространство бесконечномерно, потому что содержит все многочлены, т.е. для любого натурального n в нём найдётся n линейно независимых векторов.. Нетривиальная линейная комбинация базисных многочленов не может равняться тождественному нулю, т.к. многочлен имеет корней не более, чем его степень.

tester1

Всякий линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно
+1. Тоже резануло глаз.
Да вы что, сговорились что ли?
(в дискретной топологии никто вообще не непрерывен, кроме тривиального).
Эх... В дискретной топологии на области определения как раз непрерывны все функции, в том числе и линейные функционалы.

griz_a

Хм, ты как-то странно опровергаешь утверждение.
Тебе говорят - всякий линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.
А ты говоришь, ну как же - вот бесконечномерное пространство, на котором есть линейный непрерывный функционал. При том, что сам же указал на нем разрывный.

lenmas

Эх... В дискретной топологии на области определения как раз непрерывны все функции, в том числе и линейные функционалы.
Да, ты прав, надо взять антидискретную топологию.
P.S. Тьфу, в дискретной топологии любой линейный функционал непрерывен, но пространство может быть бесконечномерным. Все из-за того, что топология не согласована с линейной структурой.
P.P.S. Я в последнем постскриптуме тоже не совсем прав. В К-Ф написано, что и в согласованной топологии
может так быть, что любой линейный функционал непрерывен. Например, в ядерной топологии такое имеет место.
В общем, в каких топологиях выполняется утверждение "любой линейный функционал непрерывен" так и осталось
непонятным.

savilovsn

Хм, ты как-то странно опровергаешь утверждение.
Тебе говорят - всякий линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.
А ты говоришь, ну как же - вот бесконечномерное пространство, на котором есть линейный непрерывный функционал. При том, что сам же указал на нем разрывный.
а ты странно читаешь — через пост. В следующем же он приводит пример непрерывного на бесконечномерном.

lenmas

а ты странно читаешь — через пост. В следующем же он приводит пример непрерывного на бесконечномерном.
Ты юморишь? Утверждение sam-durak'а говорит о случае, когда все линейные функционалы автоматически
непрерывны. А bobel привел пример, когда один линейный функционал непрерывен.
В общем, тут все гораздо сложнее, чем с утверждением, что если единичный шар компактен, то пространство конечномерно.

tester1

Хм, ты как-то странно опровергаешь утверждение.
Тебе говорят - всякий линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.
А ты говоришь, ну как же - вот бесконечномерное пространство, на котором есть линейный непрерывный функционал. При том, что сам же указал на нем разрывный.
ок, недопонял я, видимо
я считал, что фиксировано понятие "функционал", а "пространство" меняется

tester1

если единичный шар компактен, то пространство конечномерно.
Это неверно, если шар рассматривается не в той метрике, которая порождает топологию. Например, по теореме Банаха-Алаоглу-Бурбаки единичный шар в сопряжённом пространстве компактен в слабой топологии, порождённой всеми векторами того пространства, в сопряжённом к которому рассматривается шар.

lenmas

Да, это понятно. Конечно, шар в норме пространства.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: