[конечные поля] вопрос

chmax

Верно ли, что для любого d, делящего q-1(q - характериситка поля количество элементов мультипликативной группы поля порядка d небольше, чем фи(d где фи(d) - функция Эйлера. И почему?

margo11

Верно. Верно даже равенство.
Вот доказательство неравенства. Все элементы порядка d будут корнями уравнения x^d = 1. Если у этого уравнения нет решений, все доказано. Если они есть, но среди них нет элемента порядка d, все доказано. Пусть есть элемент порядка d, обозначи его g. Тогда 1, g, g^2, ..., g^{d-1} тоже корни этого уравнения. Но многочлен степени d над полем имеет не более d корней. Значит, это все его корни. Т.е. все элементы порядка d содержатся среди выписанного множества. Далее, среди них есть ровно \phi(d имеющих порядок d, т.к. g^k имеет порядок d если и только если (k,d) = 1. Снова все доказано.

chmax

вау! круто!
спасибо!

goga7152

Сообщение удалил

margo11

Что из чего вытекает, это еще вопрос Вот я всегда думал, что из тождества для фукнции Эйлера вытекает нужное равенство. А тождество для функции Эйлера доказывается само по себе непосредственно из определения.

philnau

Верно. Верно даже равенство.
Вот доказательство неравенства. Все элементы порядка d будут корнями уравнения x^d = 1. Если у этого уравнения нет решений, все доказано. Если они есть, но среди них нет элемента порядка d, все доказано. Пусть есть элемент порядка d, обозначи его g. Тогда 1, g, g^2, ..., g^{d-1} тоже корни этого уравнения. Но многочлен степени d над полем имеет не более d корней. Значит, это все его корни. Т.е. все элементы порядка d содержатся среди выписанного множества. Далее, среди них есть ровно \phi(d имеющих порядок d, т.к. g^k имеет порядок d если и только если (k,d) = 1. Снова все доказано.
Я правильно понимаю, что если d - делитель (q-1 то ты доказываешь именно равенство, а не неравенство?

margo11

нет, не правильно. Именно неравенство. Я не доказываю, что найдется корень уравнения x^d - 1, который будет элементом поля порядка d, а это нужно для доказательства равенства.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: