Границы выпуклой области

anton-burduev

Помогите доказать/дайте ссылку на доказательство того факта, что для границы выпуклой области выполняется соотношение [math]$$L=\int_0^{\pi} w(\varphi)d\varphi$$[/math], где [math]$L$[/math] — длина границы, а [math]$w(\varphi)$[/math] — ширина области. Было бы хорошо, если бы доказательство было бы понятно не-математику.

Vlad128

Ну одна идея: рассмотреть интеграл с переменным верхним пределом и показать геометрически, что производная равна суммарной длине двух участков границы (используется соотношение sin x ~= x). Вполне по-школьному.

BSCurt

Ну тут что-то вроде выражения длины кривой в полярных координатах, где W(ФИ) играет удвоенного роль радиуса а ФИ угла, доказательство взять точку внутри области, перейти в полярные координаты с центром в этой точке, выразить длину границы как интеграл от нуля до 2 Пи, сделать не сложные преобразования получить интеграл от нуля до Пи, вроде так, хотя мог где затупить чё-то уже под вечер тяжко думается.

Lene81

Интересная задачка: выразить неизвестное через непонятное. Что такое "ширина области?" Длина отрезка между двумя точками границы, лежащими на одной прямой? Причем одна из точек фиксирована?

Vlad128

неясно, зачем что-то фиксировать. Непонятного тоже мало. Ширина выражается через опорную функцию,
[math]$$|c(A,v) + c(A,-v)| /  \|v\|$$ [/math].
Правда, я бы это длиной назвал.

afony

Длина отрезка [math]$l$[/math] может быть вычислена по формуле [math]$l=(1/2)\int_0^\pi l(\varphi)\,d\varphi$[/math], где [math]$l(\varphi)$[/math] - проекция этого отрезка на ось, образующую угол [math]$\varphi$[/math] с осью Ox. Это следует из того, что [math]$l(\varphi)=l\cdot|\cos(\varphi-\alpha)|$[/math], где [math]$\alpha$[/math] - угол, который этот отрезок образует с осью Ox и [math]$\pi$[/math] -периодичностью функции [math]$|\cos(t)|$[/math] : [math]$\int_0^\pi l\cdot|\cos(\varphi-\alpha)|\,d\varphi=l\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(t)\,dt=2l$[/math]. Следовательно, для любого выпуклого n-угольника периметр P равен сумме длин сторон [math]$l_j$[/math] (j=1,2,...n) и в то же время сумме интегралов [math]$(1/2)\int_0^\pi l_j(\varphi)\,d\varphi$[/math]. Длина [math]$w(\varphi)$[/math] проекции этого многоугольника на ось, образующую угол [math]$\varphi$[/math] с осью Ox, равна половине суммы величин [math]$l_j(\varphi)$[/math] для всех за исключением конечного числа значений аргумента [math]$\varphi$[/math] . Отсюда и равенство [math]$P=\int_0^\pi w(\varphi)\,d\varphi$[/math]. Для произвольной выпуклой области эта формула доказывается предельным переходом из формул для вписанных в неё выпуклых многоугольников.

olga-sklyarova

Ну тут что-то вроде выражения длины кривой в полярных координатах, где W(ФИ) играет удвоенного роль радиуса а ФИ угла, доказательство взять точку внутри области, перейти в полярные координаты с центром в этой точке, выразить длину границы как интеграл от нуля до 2 Пи, сделать не сложные преобразования получить интеграл от нуля до Пи, вроде так, хотя мог где затупить чё-то уже под вечер тяжко думается.
Это не совсем правда, потому как всевозможные диаметры не обязаны проходить через одну точку, а значит, непонятно, где центр полярных координат.
Задачу можно решать так, как выше посоветовали: рассмотрим два диаметра, угол наклона которых отличается на [math]$d\varphi$[/math]. Можно показать, что для выпуклой фигуры они пересекаются внутри (или на границе) фигуры. С точностью до бесконечно малых более высокого порядка эти два диаметра образуют диагонали равнобедренной трапеции с диагоналями [math]$m(\varphi)$[/math] и с углом между диагоналями [math]$d\varphi$[/math], а значит, сумма оснований будет (опять же с точность до малых более высокого порядка) [math]$m(\varphi)d\varphi$[/math]. Интегрируя, получаем требуемое.

Vlad128

это самый наглядный способ и единственный, подходящий под тэг «геометрия»!

Lene81

Я тут набросал следующую схемку

Если схема верна, то утверждение очевидно: выбрав любую точку O на границе, проводим две хорды. Длина дуги между ними [math]$d\Gamma = \omega(\phi)\, d\phi$[/math]. Пределы интегрирования — от 0 (касательная к точке О с одним, назовем его "положительным" направлением) до другой касательной (с "отрицательным направлением" отвечающей Pi.

lenmas

Если схема верна, то утверждение очевидно: выбрав любую точку O на границе, проводим две хорды. Длина дуги между ними . Пределы интегрирования — от 0 (касательная к точке О с одним, назовем его "положительным" направлением) до другой касательной (с "отрицательным направлением" отвечающей Pi.
Тебе же написал, что понимается под шириной области. Это для каждого φ ширина минимальной полосы со сторонами, имеющими наклон tg φ (или, что то же самое, длина проекции кривой на прямую с наклоном -ctg φ).
По-моему, решение этой задачи для случая выпуклого многоугольника есть в задачнике Прасолова "Планиметрия",
примерно с таким же доказательством, как выше у . На случай выпуклой кривой это распространяется очевидным
предельным переходом (хотя это уже написал :)).

anton-burduev

Если схема верна, то утверждение очевидно.
Не, под шириной [math]$w(\varphi)$[/math] подразумевается "расстояние между двумя параллельными опорными прямыми, образующими угол [math]$\varphi$[/math] с осью Ox". То есть для круга, к примеру, [math]$w(\varphi) = 2R$[/math].

Irina_Afanaseva

Проверить сначала для вписанных многоугольников, - там чисто школа плюс знак суммы. И к пределу
"под шириной подразумевается "расстояние между двумя параллельными опорными прямыми, образующими угол с осью Ox"" - да.

lenmas

вписанных
выпуклых

Irina_Afanaseva

выпуклых
да.
и интегрировать синусы - считаем, что это школа

iri3955

Ширина - длина проекции вдоль соответствующего направления. Проекция - половина суммы проекций всех элемнтов границы. Значит в исходном интеграле каждый элемент сделал полный оборот при пректирвании. А значит равенство верно.

Irina_Afanaseva

полный оборот
на \пи, как в интеграле, а не на 2\пи, относительно выбранной оси 0х,
от которой и откладываем угол ф направленной оси (ядра) ортопроекции.
элемнтов границы
приближаемых длинами сторон Л_к вписанного аппроксимирующего многоугольника. Приближение удобно характеризовать числом Д_к - наибольшим удалением точки элемента периметра фигуры от прямой, отвечающей этой стороне; для произвольно заданного д>0 можно выбрать многогранник так, чтобы при всех к одновременно выполнялось Д_к< дЛ_k (это следствие выпуклости - очевидное по формулировке, но не коротко доказываемое). Пусть Д= дL.
Cтороны нумеруем буквой ка в положительном направлении, что даёт и направление каждого ребра и угол (со знаком) \пси_к от выбранной оси 0х до этого направления, нужный для сравнения с углом ф из условия задачи.
Ширина - длина проекции
- проекция катого элемента это L_k |sin(ф - \пси_к)|, а суммирование по всем "элементам границы" есть (с точностью до 2Д) две ширины w(ф).
Поэтому для доказательства надо (равномерно по ф с точностью 2Д) заменить под знаком интеграла w(ф) на сум_к ( Л_к |sin(ф - пси_к)| )/2
После интегрирования по ф это даст (так как все половины модулей синусов при интегрировании по ф дадут единицы) \сум_к Л_к (периметр многоугольника) c точностью Д\пи=дL\пи

lenmas

Интересно, для поверхностей в R^3 аналогичный результат тоже имеет место?

afony

Вроде бы ничто не мешает провести аналогичные рассуждения. Возьмём плоский многоугольник, спроектируем его ортогонально вдоль всевозможных направлений и проинтегрируем по двум параметрам, задающим эти самые всевозможные направления. Результат будет пропорционален площади многоугольника и не будет зависеть от его расположения в пространстве. Далее все аналогично и для поверхности выпуклого многогранника и для границы выпуклого тела.

lenmas

Гм, интересное обобщение получается на случай любой размерности :) Хорошо бы как-нибудь на досуге
написать коэффициент при интеграле.

lenmas

В R^3 формула будет такая
[math]  $$  S=\frac1\pi\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\int\limits_0^{2\pi}S(\varphi,\psi)\cos\psi\,d\varphi\,d\psi,  $$  [/math]
где [math]$S(\varphi,\psi)$[/math] --- проекция выпуклой поверхности на плоскость, ортогональную
единичному вектору [math]$\vec n=(\cos\psi\cos\varphi,\cos\psi\sin\varphi,\sin\psi)$[/math].
Может, кто-то напишет аналогичную формулу для R^n :)

lenmas

Судя по всему, формула будет такая
[math]  $$  S=\frac1{V_{n-1}}\int\limits_0^\pi\int\limits_0^\pi\cdots\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi}S(\varphi_1,\ldots  \varphi_{n-1})\sin^{n-2}\varphi_1\sin^{n-3}\varphi_2\ldots\sin\varphi_{n-2}\,d\varphi_{n-1}\,d\varphi_{n-2}\ldots  d\varphi_1,  $$  [/math]
где [math]$S(\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-1})$[/math] --- проекция выпуклой гиперповерхности на гиперплоскость, ортогональную единичному вектору
[math]$\vec n=(\cos\varphi_1,\sin\varphi_1\cos\varphi_2,\sin\varphi_1\sin\varphi_2  \cos\varphi_3,\ldots,\sin\varphi_1\sin\varphi_2\ldots\sin\varphi_{n-2}\cos\varphi_{n-1},\sin\varphi_1\sin\varphi_2  \ldots\sin\varphi_{n-2}\sin\varphi_{n-1}$[/math]
[math]$(\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-1})$[/math] --- сферические координаты на единичной сфере по Демидовичу, а [math]$V_{n-1}$[/math] --- объем единичного шара в R^{n-1}.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: