Задача по комплану

zzzXAXAXAzzz

f - голоморфна. |f(z)|=exp(2x)+exp(-2x)+2cos(2y)
Надо востановить функцию по ее модулю. Помогите плз...

NHGKU2

Могу высказать следующее соображение:
f = u + iv
|f|^2 = u^2 + v^2
Значит, d|f|^2/2 = u du + v dv. Расписав дифференциалы du и dv, получишь систему вида
u du/dx + v dv/dx = d(|f|^2/2)/dx
u du/dy + v dv/dy = d(|f|^2/2)/dy
(в левой части производные частные). Правая часть известна. Воспользовавшись условиями Коши-Римана, можно исключить из этой системы v и получить уравнение в частных производных второго порядка на u. Возможно, в данном конкретном случае оно имеет простой вид, и его можно легко решить. Конкретные выкладки проводить лень, сорри

seregaohota

Раз есть exp(2x)+exp(-2x то может должен быть там 2сh(2x) где-то...

zzzXAXAXAzzz

в принципе я пытался решить аналогично, но там какая-то мега херь получается... ваще хз, что делать...

KaterinKa

|f(z)|=exp(2x)+exp(-2x)+2cos(2x)=2ch(2x)+2ch(2iy)=4ch(x+iy)ch(x-iy)=4ch(z)ch(z*)
А дальше не знаю.

griz_a

Какое уравнение получается?

lenmas

Представь cos2y как ch(2iy a e^{2x}+e^{-2x} как 2ch2x, потом воспользуйся формулой для суммы гиперболических косинусов (она такая же, как для обычных косинусов). Тогда все приведется к виду 4ch(x+iy)ch(x-iy)=4ch z ch z*=4|ch^2 z|, откуда f(z)=4ch z умножить на любое число, по модулю равное единице, то-есть e^{i\alpha}, \alpha из R. Если тебя интересует общий способ нахождения функции по ее модулю, то надо прологарифмировать модуль, а потом по действительной части ln|f(z)| найти ln f(z) (из условий Коши-Римана ну и возвести в экспоненту.

Razigel

Может, воспользоваться тем, что |f(z)|^2=f(z)\cdot\overline{f(z)}?

zzzXAXAXAzzz

вот последнее я не понял...

NHGKU2

Квадрат модуля комплексного числа равен произведению его на сопряженное:
|f(z)|^2 = f(z) f(z)*
(звездочка означает комплексное сопряжение). Как тут уже писали,
|f(z)|^2 = exp(2x)+exp(-2x)+2cos(2x)=2ch(2x)+2ch(2iy)=4ch(x+iy)ch(x-iy)=4ch(z)ch(z*) = 4 ch(z) (ch(z* = 2ch(z) (2ch(z*,
вот и получается f(z) = 2 ch(z). Осталось лишь заметить, что умножение на константу, равную по модулю 1, не изменит модуля функции, поэтому "общее решение" имеет вид f(z) = 2e^{ia} ch(z a — вещественная константа.
написал (почти) правильное красивое решение, которое дает также и общий метод нахождения функции по ее модулю.

Finn

Может быть так
представляем функцию в виде F[x,y]=u[x,y]+iv[x,y],
где u[x, y] = r[x, y] Cos[ψ[x, y]]
v[x, y] = r[x, y] Sin[ψ[x, y]]
и Записываем условие Коши-Римана, упрощаем, получаем красивую систему
dψ/dx =2 Exp[2 x] Sin[2 y]/(1+Exp[4x]+2 Exp[2 x] Cos[2 y])
dψ/dy= 2 (-1+Exp[4 x])]/(1+Exp[4x]+2 Exp[2 x] Cos[2 y])
Интегралы берутся
у меня получилось что-то вроде
ψ=2 ArcTg[(Exp[2 x]+Cos[2 y])/Sin[2 y]]+2 y+C (здесь при Sin[2 y]>0)
C выбираем например из условия 0<ψ< 2 Pi
Но для простоты берем С=0
Тогда находим Синус и Косинус от этого найденного значения угла, упрощаем уже их комбинацию, получается ответ (1+Exp[2 x+ 2 i y])/(Exp[2 x]+Exp[2 i y])
Тогда искомая функция после еще упрощений записывается в виде
- Exp[-2 (x+i y)] (1+Exp[2 x+2 i y])^2

KaterinKa

Так, может быть, автор ошибся в условии
|f(z)|=exp(2x)+exp(-2x)+2cos(2x
и должно быть |f(z)|^2=exp(2x)+exp(-2x)+2cos(2x) ?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: