Помогите с линалом

dunkel68

Стыдно спрашивать, но сам вспомнить не могу:
есть действительная матрица, у неё есть собственные значения [math]$\lambda = x \pm iy$[/math]. Как найти базис соответствующего им собственного подпространства? Чё-то вспоминаю, что надо посчитать что-то вроде Az = Re(\lambda)z, Az = Im(\lambda) z, A\Re(z) = \lambda \Re(z)... но как точно — хоть глаз вырви запутался. Подскажите, плиз )

svetik5623190

Израиль Моисеевич Гельфанд (царствие небесное "Лекции по линейной алгебре"

dunkel68

Видимо, у меня глаз потерял сноровку — пролистал два раза, не нашёл :( Ещё в какой-то книжке тоже ничё конкретного не пишут: везде в основном только теорема о том, что если n различных собственных значений, то существует собственный базис и всё для простоты над С, а частных случаев не разобрано. Жорданово разложение, вроде как уже немного не из этой оперы... Помогите :)

stm7886047

Вроде, надо найти решение:
(A-lambda E)z = 0
Его можно решать покомпонентно

svetik5623190

посмотри в Гельфанде определение собственного вектора, соответсвующего данному собственному числу
Как найти базис соответствующего им собственного подпространства?
Пусть лямбда --- собственное число. Покопайся в ядрах операторов:
A - лямбда Е
(A - лямбда Е)^2
(A - лямбда Е)^3
(A - лямбда Е)^4
....

svetik5623190

Пусть лямбда --- собственное число. Покопайся в ядрах операторов:
A - лямбда Е
(A - лямбда Е)^2
(A - лямбда Е)^3
(A - лямбда Е)^4
Более точно, я имел в виду следующее:
собственное подпространство --- это ядро оператора A - лямбда Е. Оно состоит в точности из решений приведённого выше уравнения. Нужно взять любые линейно независимые векторы ядра, линейная оболочка которых равна ядру (это то же самое, что взять линейно независимые векторы ядра в количестве, равном размерности ядра). Эти векторы и будут искомым базисом. Если нужно, можно этот базис ортогонализовать по Граму-Шмидту.
Если цели искать корневые подпространства нет, то ядра указанных ниже операторов находить не нужно:
(A - лямбда Е)^2
(A - лямбда Е)^3
(A - лямбда Е)^4
....

chepa02

Нужно взять любые линейно независимые векторы ядра, линейная оболочка которых равна ядру (это то же самое, что взять линейно независимые векторы ядра в количестве, равном размерности ядра). Эти векторы и будут искомым базисом.
по-человечески говоря, нужно решить однородную линейную систему уравнений, что в точности и сказал
а корневые подпространства и степени оператора и их ядра тут вообще не при чем

stm7886047

Покомпонентно имеется ввиду:
Re:
(A-Re(λ)E) Re(z) + Im(λ)Im(z)=0
Im:
(A-Re(λ)E) Im(z) - Im(λ)Re(z)=0
В итоге получается система на 2n неизвестных над R.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: