Школьная задача по планиметрии

tester1

Медиана АД и высота СЕ равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) пересекаются в точке Р. Найдите площадь треугольника АВС, если СР=5, РЕ=2.
Спасибо!

mtk79

Медиана АД и высота СЕ
СЕ АД!

tester1

можешь направить своё остроумие на решение задачи? :)

mtk79

Зачем, ведь Вы используете постирование на форум-локал только для того, чтобы был катализатор, чтобы Вы заставили себя думать?

Yansloka

заботай теорему Менелая. Вроде этого достаточно

mtk79

Зачем ботать Якова Менелаевича, если задача — школьная, а в школе одна теорема — Пифагора. Хотя то, что это два разных человека, лично я — не поручусь!

Vikuschechka9

Главное - удостовериться, что твой прокачанный аккаунт не угнала шайка злоумышленных школьников!

8888157

После прочтения Иллиады, восхищаюсь Менелаем :grin: !
Теоремы доказывал, Елену Прекрасную ..., троянцев рубил.
Вот жизнь!
Гоно, учись! :grin: :grin: :grin:

Vlad128

т. Менелая чисто аффинная, а здесь есть высота, так что чего-то кроме нее-таки понадобится (т. Пифагора?)

Yansloka

ну разумеется потом надо пифагором добить)

seregaohota

Медиана АД и высота СЕ равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) пересекаются в точке Р. Найдите площадь треугольника АВС, если СР=5, РЕ=2.
Спасибо!
в силу равнобедренности медиана АД является одновременно высотой и биссектрисой.
По свойству биссектрисы AP (она же АД) в треугольнике АСE
AE/AC = PE/PC = 2/5
Из прямоугольного треугольника ACE
AC^2 = CE^2 + AE^2
или
AC^2 (1-(2/5)^2) = 8^2
Далее площадь ABC
1/2 * AB * CE = 1/2 * AC * 8

Yansloka

в силу равнобедренности медиана АД является одновременно высотой и биссектрисой.
читаем внимательно условие :grin:

mtk79

 
AE/AC = PE/PC = 2/5

Как сказал бы Юрист-Пофигист: "Главное, выводы верные", (только не AE/AC, а AE/AB)

algimunt

Пусть S - искомая площадь. Тогда:
S_{ABD}=S_{ADC}=S/2,
S_{ADE}=2/5 S_{ADC}=S/5,
S_{BDE}=S-S_{ADE}-S_{ADC}=3/10 S,
S_{CDE}= S_{BDE}=3/10 S,
S_{CBE}=6/10 S,
S_{ACE}= S - S_{SBE}=4/10 S.
Значит, BE:AE=6:4=3:2. Если AB=BC=x, то по теореме Пифагора из треугольника CBE: (0,6x)^2 + 7^2 = x^2, x=35/2. Значит, S=1/2 x*7=245/4.

Logon

S_{ABD}=S_{ADC}=S/2,
с чего бы это? :confused:

Vlad128

S = ah / 2, наверное это будет наиболее понятно, там общая высота, основания равны. Но это опять же аффинный факт, к высоте отношения не имеет.

Logon

Треугольники АВД и АДС, имеют общее основание-сторону (АД одинаковые длины сторон ВД=ДС, но стороны АВ и АС у них разные.
объясните, плиз, почему эти треугольники равны?

Valeryk

Потому что это равнобедренный треугольник и ab=ac? :confused:

Sergey79

Потому что это равнобедренный треугольник и ab=ac?
по условию ab=bc

Logon

условие
равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС)

Vlad128

AD — медиана. Перечитай еще раз мое сообщение, общая высота и равные стороны, а не общая сторона.

Vlad128

там о других треугольниках речь

Skilet3d

Они не равны, но их площади равны, т.к. BD=DC, а высоты у них одинаковые

Logon

и? я что-то неправильное написал?

Vlad128

правильно, ну и что? из твоих слов ничего о площадях не следует :)

Yansloka

x=35/2
а не 35/4 ?

olga-sklyarova

Значит, BE:AE=6:4=3:2.
Это автоматически следует из теоремы Менелая для треугольника CEB, как раньше и советовали. Впрочем, передоказать тоже можно :)

Vlad128

а, так там про площади написано в решении, понятно, что сами треугольники не равны.

Logon

из твоих слов ничего о площадях не следует
гммм, если у треугольников две стороны равные, а третья нет - равная плошадь у них может быть только в одном исключительном случае, если они подобные.
как-то в этой задаче подобия треугольников не видно

olga-sklyarova

Углы между этими сторонами могут быть или равны, или в сумме давать 180 (например, из формулы площади треугольника через две стороны и синус угла между ними).
Утверждение про подобие треугольников странное. Если треугольники подобны и равны по площади, то они равны.
Кстати, бывают подобные неравные треугольники ABC и A'B'C', у которых AB = A'B' и BC = B'C' :)

Vlad128

про то, что медиана делит треугольник на два равновеликих, узнают на первом же уроке про медиану, зачем более сложные рассуждения? Подобными они не обязательно будут (хотя бы потому, что очень часто один тупоугольный, а другой остроугольный две равных стороны у них всегда есть.

mtk79

S_{ABD}=S_{ADC}=S/2,
S_{ADE}=2/5 S_{ADC}=S/5,
S_{BDE}=S-S_{ADE}-S_{ADC}=3/10 S,
S_{CDE}= S_{BDE}=3/10 S,
S_{CBE}=6/10 S,
S_{ACE}= S - S_{SBE}=4/10 S.
Значит, BE:AE=6:4=3:2.
Наверное, весь набор равенств, не совсем очевидных школьнику, можно заменить на достраивание параллелограмма (ABD'C) по медиане, откуда немедленно это следует(?)

ruslan80

Иногда выпадаю в осадок, посещая стади. МГУшники на полном серьёзе обсуждают примитивную задачку по планиметрии, при этом в соседней теме считают интегралы в комплексной плоскости.

Valeryk

я как обычно слепой на один глаз. Сорри.

algimunt

точно. ошибся :( ответ в два раза меньше.

Vikuschechka9

МГУшники на полном серьёзе обсуждают примитивную задачку по планиметрии
а в медиа обсуждают My Little Pony
по-моему, детство из жопы не выбить
тем более ведь прикольно снова треугольнички порисовать

tester1

Всем спасибо!

seregaohota

читаем внимательно условие
Тогда

На рисунке ось Bx горизонтальна параллельна стороне BA, ось By вертикальна, в скобках координаты, исходные неизвестные параметры BC=BA=a и величина угла B.
Координаты точек С и A очевидны, точки P и E лежат с точкой С на вертикали (высоте их y-координаты даны по условию, координаты точки D - половина координат C (BD=DC т.к. AD - медиана)
Вектора AD и AP параллельны как лежащие на одной прямой, значит координаты пропорциональны (или из точки D опускаем в точку H перпендикуляр на BA и из подобия DHA и PEA)
[math]$\dfrac{a(\cos B /2 - 1)}{a(\cos B - 1)} = \dfrac{7/2}{2}$[/math]
отсюда [math]$\cos B = \dfrac{3}{5}$[/math] и [math]$\sin B = \dfrac{4}{5}$[/math]
Из y-координаты точки C [math]$a\sin B = 7$[/math] и [math]$a = \dfrac{35}{4}$[/math]
[math]$S = \dfrac{1}{2} a \cdot 7 =  \dfrac{245}{8}$[/math]

tester1

Понял решение, респект, спасибо!

Yansloka

общественность интересуется пытался ли ты сам решить задачу, если пытался то какими методами? в какой момент возникли трудности?

tester1

задачу мне предложил один мой товарищ, опытный репетитор со стажем 20 лет, сказал не могу решить что-то, заклинило и всё
я подумал над ней час и ничего не придумал
решил запостить на форум, потому что подумал, что задача видимо трудная и форумчанам может быть интересно
репетитор уже получил решение , говорит большое спасибо, очень неожиданное решение

tester1

если пытался то какими методами?

сначала я пытался вывести соотношения площадей треугольникв на основе того, что у многих из них или общая высота, или общая сторона, потом думал написать равенство "площадь большого = сумма площадей маленьких", из полученного уравнения найти площадь самого маленького треугольника, а из неё и большого
не получилось
потом я задумался над тем, опрделяются ли элементы треугольника данными задачи однозначно, или вычислить можно только площадь, а решить треугольник нельзя
с этой целью попытался разработать метод построения треугольника по данным задачи
не получилось

filippov2005

опрделяются ли элементы треугольника данными задачи однозначно
Почему именно однозначно? Может у задачи несколько решений.
Если постараться обобщить подход к решению, то получится что-то вроде.
Можно найти все треугольники с заданными в условии свойствами. И если только семейство таких треугольников получится слишком большое, то найти искомое, пользуясь соотношением для элементов треугольника (хотя если известна площадь, то однозначно задается сторона. Из стороны и высоты почти однозначно получается угол (два угла с одним синусом). Если задачу можно решить, то и можно найти сторону и угол).
Равнобедренный треугольник определяется, например, стороной и углом при вершине.
Для того, чтобы их найти, решим обратную задачу. Зная сторону и угол, найдем длины отрезков, которые указаны в задаче.
Что-нибудь примечательное для точки P заметить трудно. Единственное - это точка пересечения двух прямых, которые определяются из стороны и угла. Записываем уравнения прямых, находим координаты пересечения, вычисляем длины данных отрезков, приравниваем их к числам из условия. Решение получившейся системы дает семейство искомых треугольников. В данном случае повезло и треугольник только один. Зная его сторону, находим искомую площадь.

sandish

Из точки D провести перпендикуляр к АВ, DH.
DHB подобен CBE с k=2 =>DH=3.5, EH=HB.
DHA подобен EPA, k= DH/PE=3,5/2 = HA/EA.
Пусть EA=2а, тогда EH=1,5а. HB=1,5 а.
BC=АВ = 5а.
из треугольника DHB или CBE находим а по теореме пифагора. а = 1,75.
Площадь ABC = AB*CE=5a*7=61,25

pfqneyf15

Площадь ABC = AB*CE/2=5a*7/2=61,25/2=30,625
fixed
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: