Что больше: sqrt(2)+sqrt(3) и Пи?

botir

Что больше: sqrt(2)+sqrt(3) и Пи?
Задача для поступления в 7 класс в физмат школу!
Красивого алгоритам я не нашел.
И предложить, кроме как просто сравнить эти числа с помощью калькулятора я не могу!
Там значения отличаются в четвертом знаке!

nikmif

Мы решали подобное с помощью неравенств:
1.4142 <sqrt(2)<1.4143
1.7320 <sqrt(3)<1.7321
3.1462<sqrt(2)+sqrt(3)<3.1464
3.1415 <Pi<3.1416

KuKat32

мое предположение — надо знать что пи это 3.141...
плюс надо знать алгоритм вычисления корня до любого знака (он простой, но я его щас не помню)
и все
(одновременно ответили)

L2JVIDOCQ

Корень, я думаю, можно вычислить как разложение в ряд Тэйлора Sqrt[1+x]

greekdom

Берешь любое понравившееся выражение для pi и вперед.

NHGKU2

Вряд ли семиклассники осилят хотя бы одно из этих выражений.

iri3955

Ага, а лучше в ряд Лорана sqrt{1 + 1/x}. Так как в 7м классе ряд Тейлора могут уже забыть.....

L2JVIDOCQ

А блин, не посмотрел, что 7 класс

svetik5623190

Корень, я думаю, можно вычислить как разложение в ряд Тэйлора Sqrt[1+x]
На этом и основан алгоритм вычисления корня. По сути - это метод касательных Ньютона.
А задачу я бы решал не так. Я бы возвёл неравенство (между положительными числами!) два раза в квадрат (уединяя радикал перед вторым возведением) и сравнивал бы с нулём квадратный трёхчлен от Пи.
Для этого бы заменил Пи на икс, решил бы квадратное уравнение, а потом и квадратное неравенство, и проверил бы, попадает ли Пи в полученный интервал....
границы интервала не могут оказаться ещё сложнее, чем сумма корней из 2 и 3, в крайнем случае будет один корень (если дискриминант не будет полным квадратом)
Как вам, господа?

svetik5623190

ну то есть это для школы бы я решал не так
для себя - конечно, на калькуляторе

mcfly67

А задачу я бы решал не так. Я бы возвёл неравенство (между положительными числами!) два раза в квадрат (уединяя радикал перед вторым возведением) и сравнивал бы с нулём квадратный трёхчлен от Пи.
Или я тупой, или у тебя получилось бы не квадратное уравнение, а биквадратное от пи.
И все равно вылезают те же корни.
Так что это переливание из пустого в порожнее.
Фигню ты сказал.

roza200611

он не фигню сказал, но такой вариант не прокатит!
в результате решения этого биквадратного неравенства мы в конечном итоге пришли бы к тому же самому первоначальному неравенству. т.к. корень из 2 плюс корень из 3 был бы одним из корней этого биквадратного неравенства.

margo11

Не помню в каком классе в одном из учебников есть информация о том что pi < 22/7. И это то немногое, что знают школьники про число pi. Остается проверить, что sqrt(2) + sqrt(3) > 22/7

mcfly67

в результате решения этого биквадратного неравенства мы в конечном итоге пришли бы к тому же самому первоначальному неравенству. т.к. корень из 2 плюс корень из 3 был бы одним из корней этого биквадратного неравенства.
Я это и имел в виду, говоря "из пустого в порожнее". Проделаем кучу действий без толку. Сорри если кто не понял.

kolyan

можно попробовать описать единичную окружность правильным n-угольником с вменяемым периметром p (скажем, рациональным) и доказать что sqrt(2)+sqrt(3)>p/2

svetik5623190

получилось бы не квадратное уравнение, а биквадратное от пи.
И все равно вылезают те же корни.
Так что это переливание из пустого в порожнее.
Фигню ты сказал.
Точно, а мне что-то стрельнуло, что оно будет квадратное. Наверно, кто-то меня отвлёк в момент написания ) Или просто ум за разум зашёл - бывает )
Действительно, фигню я сказал

mtk79

не уверен, что правильным (возможно, одну половину придется одним углом делать, вторую - другим но я вчера прикидывал: разница настолько незначительная, что если так делать - то в среднем это должен быть 48-угольник (или еще круче)

kachokslava

разделить на 6, подсчитать от обеих синус.
sin(pi/6) = 1/2, sinsqrt(3)+sqrt(2/6) разложить в Тейлора и посчитать.

kachokslava

sin(x)=x-x^3/6+eps, eps>0
тут подставить, раскрыть, сократить, сравнить с 1/2 сможет семиклассник.
вот только он должен занть такое представление синуса для этого..

vitamin8808

+1

DarkDimazzz

Представление, может, и знает (хотя это должен быть "умный" школьник а вот то, что eps>0 - сомневаюсь.

Sergey79

ну да, а успеет разложение синуса сойтись так быстро к самому синусу с достаточной точностью, учитывая то, что он отстоит от нуля на примерно 1/2? Т.е. у нас будет О(1/32 что имхо может быть больше разности, которую надо оценить в задаче.

svetik5623190

ряд для синуса относится к лейбницевскому типу, ошибка меньше первого отброшенного члена поэтому. А там ведь эн-факториал в знаменателе - очень хорошая скорость.
Рад для синуса сходится очень быстро, и работает неплохо даже в линейном приближении:
sin(Pi/6)=1/2, но Pi/6 это и так примерно 1/2. А Базилио предлагает взять до третьего порядка, что ещё лучше.
Но имхо школьники знать ряд для синуса не должны. Зато они могут знать, что если икс от нуля до Пи пополам, то
tg(x)> x >sin(x) > (2/Pi)x.
Можно попробовать как-то использовать эту цепочку неравенств.

Sanych

Ответ же уже дан в треде? То есть, если подробнее:
pi<22/7, известно из учебника
sqrt(2)+sqrt(3)>22/7,
что проверяется возведением в квадрат, переносом 5 в правую часть и ещё одним возведением в квадрат

svetik5623190

интересно, анонимный топикстартер удовлетворён ответами?

Sanych

Да, кстати, если уж вспоминать о хороших и не слишком сложных приближениях числа pi сверху, то это 355/113=3+16/113; вот только для этой задачи даже его точность уже чрезмерна.
А идея с переходом к синусу, согласен, интересна сама по себе. Но оценку x-x^3/6<sin x, которой в действительности, конечно, тоже достаточно, с технической точки зрения будет заметно сложнее применять.

natali22061979

По размышленьи здравом я пришел к следующим умозаключениям:
Во-первых, семиклассники не умеют раскладывать в ряды Тейлора или упаси боже Лорана. Более того, они даже не знают, что такое квадратный трехчлен (вы не поверите, но это материал 9-го класса!). Но! Зато их с утра до ночи мучат умножениями и делениями в столбик. Особо умных учат вычислять корень из любого числа ( неотрицательного, конечно! ). Меня, например, этому в школе не учили, но, заинтересовавшись проблемой, я осилил эту науку и готов предъявить наиболее адекватное для ученика 7-го класса решение задачи:
Итак, мы умеем вручную:
Умножать
Делить
извлекать корни
Умея делить, и зная, что число Пи это примерно 22/7 приходим к выводу, что оно равно примерно 3.143
Умея извлекать корни находим, что корень из 2 это примерно 1.414
Умея извлекать корни находим, что корень из 3 это примерно 1.732
Складываем
1.414 + 1.732 = 3.146
Ну, собственно, задача решена. 3.146 > 3.143
Таким образом
(sqrt(2) + sqrt(3 > Пи
Основная цель задачи - показать умение умножать, делить и извлекать вручную корни. Я это проделал. Геморрой еще тот, скажу я вам. Если интересно, могу отсканить показать :)

svetik5623190

до ночи мучат умножениями и делениями в столбик. Особо умных учат вычислять корень из любого числа ( неотрицательного
Скорее всего, ты прав.
Но сама задача, имхо, глупая...

svetik5623190

Геморрой
В приличном обществе это называется "головная боль" )

zhichin

Можно ещё так решать.
Делим обе части неравенства на 2. Получаем (sqrt(3)+sqrt(2/2 и пи/2.
Дальше sqrt(3)/2 есть sinП/3, а sqrt(2)/2 - sinП/4. В седьмом классе нам, среди прочих учебников, выдавали т.н. "Таблицы Брадиса", в которых были даны значения тригонометрических функций вплоть до 6-го знака после запятой.
Получаем sinП/3+sinП/4>1.57

natali22061979

Тут, конечно, нельзя не восхититься оригинальностью подхода, но, увы, я подозреваю, нам могут не дать никаких таблиц и без них мы так ничего и не найдем.

zhichin

Пожалуй, ты прав.

mtk79

Умея делить, и зная, что число Пи это примерно 22/7 приходим к выводу, что оно равно примерно 3.143
По-моему, дети скорее запоминают 3.1415, чем "примерно 22/7"

nozanin

Не помню в каком классе в одном из учебников есть информация о том что pi < 22/7. И это то немногое, что знают школьники про число pi. Остается проверить, что sqrt(2) + sqrt(3) > 22/7
+1
от семиклассников ждут именно это решение.

kachokslava

можно точную ссылку на какой-нибудь учебник <=7 класса, где есть неравенство pi<22/7 в явном виде?

seregaohota

Они в 7 классе наверное знают уже про длину стороны описанного n-угольника (про тангенс или хотя бы как выражается длина стороны описанного 2n-угольника через длину стороны описанного n-угольника.
Тогда для полупериметра описанного n=48-угольника надо доказать, что
pi < 48 * tg(pi/48) < sqrt(2) + sqrt(3)
Обозначим t_{n} = tg(pi/n тогда
t_{2n} = ( sqrt(1+t_{n}^2) - 1 ) / t_{n}
Последовательно вычисляем
t_{3} = tg(pi/3) = sqrt(3)
t_{6} = tg(pi/6) = 1/sqrt(3)
t_{12} = tg(pi/12) = 2-sqrt(3)
t_{24} = tg(pi/24) = sqrt(6) + sqrt(2) - sqrt(3) - 2
и
t_{48} = tg(pi/48) = ( sqrt( 16 + 8*sqrt(3) - 10*sqrt(2) - 6*sqrt(6) ) - 1 ) / ( sqrt(6) + sqrt(2) - sqrt(3) - 2 )
Остаётся проверить
48 * tg(pi/48) < sqrt(2) + sqrt(3)
Это легко Только возводишь в квадраты, умножаешь да переносишь когда надо.

vit-makovey

набежала куча народа и стала с азартом доказывать тривиальное неравенство, наспех успевая ( а кто не успевая) сказать " семиклассники тоже при желании так сделают!"
И тригонометрию приплели и ряд Тейлора. Через диффуры нет желания доказать? Уверен, что вполне можно.
Человеку, который неравенство запостил, нужно тривиальное решение для 7 класса, а не доказательство твоих глубоких матем. знаний.

slsf

Так взбудоражившиеся самооценкой студенты естественно научных факультетов поголовно проигнорировали
утверждение о том, что школьник только закончил 6 класс.
Следовательно, в 5 и 6 классе он должен был изучить как быстро брать корни на бумажке,
определение числа пи, по мнению некоторых коллег он спокойно мог бы уловить всю нетривиальность
задачи и углубиться в геометрические построения попутно открыв тригонометрические функции и доказав
пару простых правил обращения с ними, что конечно же ерунда, ведь он поступает в физмат школу!
Но нет, наш школьник не остановится на этом! Он поймет, как красива задача, ведь корень из двух это длинна диагонали квадрата со стороной 1, а корень из трех это длинна диагонали куба со стороной 1, ну а число пи это длинна окружности вписанной в вышеупомянутый квадрат.
Наткнувшись на эту, покрывшуюся плесенью, геометрическую аналогию наш школьник сразу же вспомнил публичные лекции в яслях НМУ - "Море, Пифагор и цепные дроби". Теперь это совсем тривиальная задачка! Когда мы нашли простое приближение к числу пи - 22/7. Закончив свой ответ указанием на этот интересный метод решения задачи, наш школьник робко дал ссылки на труды Пифагора по которым он учился читать.
Экзаменатор - какой-то широко неизвестный профессор НМУ - нахмурил брови и сказал:
"Хорошо, уверенно - твердая четверка.
Вы, к сожалению, ничего не упомянули о коммутативности алгебраических чисел и иррациональности числа пи. Советую Вам читать то, что читают ваши французские сверстники - хотя-бы цикл научных комиксов Бурбаки. А не Гарри Поттера!
В целом, могу поздравить Вас, дорогой школьник! Вы приняты в нашу школу!"

kachokslava

Я хочу сказать следующее:
Почти все школьники знают, что "пи примерно равно 22/7". Некоторые начитанные знают "примерно равно 355/113"
Но вот незадача - почти никто не знает - меньше или больше?
ради эксперимента - спросите у школьников! и пусть предъявят доказательство.
или ссылку на учебник. только вот рассуждения "пи = 3.1415..., а 22/7 = 3.1428..." не проходят ибо значение числа пи школьнику неизвестно.
Если оно известно - то до какого знака? до пятого? тогда ему известны корни из двух и трёх до пятого знака ("запомнил" типа, как и "запомнил" число пи). и задача в этом случае сводится к сложению пятизначных чисел и сравнению с другим пятизначным числом

slsf

Хочу сказать - Задача в такой постановке абсолютно бессмысленна.
Что она призвана проверить, чему научить - мне сказать трудно.
Я например, совершенно не помню когда я учил, что пи примерно равно 22/7.
Нет! Что-то такое было. Помню, что я сразу же забыл это за ненадобностью.

ivan9696

А по-моему, все школьники должны знать, что 3 10/71<\pi<3 1/7.

Sergey79

вввоооооот наконец, то неравенство, которое все у меня в голове крутилось. Никакие не 22/7, а именно
это.

kachokslava

а вот это даже я в первый раз увидел только сейчас

seregaohota

Я не выёживаюсь и не пальцы кидаю что таблицу умножения знаю, как бы это не выглядело, а дело говорю. А тангенсы я приплёл в пояснение не для школьника конечно, а тем кому ясно что sin(x)/x и tg(x)/x стремится к 1 при x стремящемся к 0, и кто формулы для тангенса двойного или половинного угла знает. Тогда мои рассуждения очевидны.
Не знаю кто что из школы помнит, а у меня pi точно в башке впервые появилось из школьного учебника и именно из рассуждений про описанный и вписанный многоугольники. И там точно помню всё делалось из операции удвоения количества сторон многоугольника, т.к. как пить дать на тот момент про тригонометрию ещё ничего неизвестно было. Повторялись рассуждения греков и вавилонян. Ван Дер Вардена книжка вроде историческая есть "Пробуждающаяся наука", надо бы найти да глянуть, только лениво. Ведь именно отсюда это их приближение 22/7 взялось.
И как сейчас помню там был 96-угольник и формула для его периметра. Так что 48-угольник из моих рассуждений - это по-божески.
А как же там всё появляется? Именно так, через зад, повторяя историческое развитие можно сказать. Как в эмбриологии зародыш повторяет эволюцию. Ну выкидывая и упрощая, ускоренно срезая развитие где можно, чтобы тысячи или миллионы лет с этим не возиться, а всё же до выпускного экзамена или за 9 месяцев закончить. Кому как. Точно так же помню lg(2)=0.301 - возводилась 2 в офигенную степень, и сравнивалось со степенями 10. А уж в каком это детском саду лекции содержат - не знаю. У меня в школе точно и именно так и было.

seregaohota

В подтверждение моего предыдущего поста вот кстати и на Википедии написано про pi:
Архимед, возможно, первым предложил способ вычисления pi математическим способом. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Так, для шестиугольника (см. рисунок) получается
3< pi <2 sqrt(3)
Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку
3 10/71< pi <3 1/7

8686087

Мне кажется, что школьник должен знать значение числа пи в приближении 3,1416 (раньше его учили в школе наизусть а дальше возводить в квадрат. Без калькулятора, конечно, трудно, но в принципе это задача на умножение четырех-пятизначных чисел в столбик.

svetik5623190

Хочу сказать - Задача в такой постановке абсолютно бессмысленна.
+1
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: