Вещественность спектра матрицы

stream_24

Коллеги, напомните, пожалуйста, критерий (хотя достаточно и признака) вещественности спектра матрицы (с вещественными элементами) .
PS Помнится, такая матрица обязана быть подобна диагональной, а как это проверяется обычно?
Есть ли какой-нибудь способ установить свойство приводимости к диагональному виду без явного вычисления собственных значений?

chepa02


Любая вещественная симметричная матрица имеет вещественный спектр и диагонализируема

lenmas

PS Помнится, такая матрица обязана быть подобна диагональной, а как это проверяется обычно?
Неправда, жорданова клетка тоже имеет действительные значения, а не подобна диагональной

lenmas

Коллеги, напомните, пожалуйста, критерий (хотя достаточно и признака) вещественности спектра матрицы (с вещественными элементами)
Признак тебе уже сообщили. А критерий диагонализируемости --- чтобы размерности подпространств собственных векторов для всех собственных значений в сумме составляли размерность всего пространства.

mtk79

Так, наверное, товарищ и спрашивает, можно ли, не приводя несимм. матрицу к жордану, однозначно определить вещественность (инварианты, может, какие хитрые — или еще чего)

aldo63

у матриц есть два разумных инварианта — след и определитель, они вряд ли помогут

seregaohota

Все инварианты в характеристическом полиноме коэффициентами сидят, нет разве? Есть ещё минимальный полином или типа того, не знал да ещё забыл :) , короче как-то вроде выясняется по полиномам от lambda что все корни действительны и размер и тип жордановых клеток для матриц общего вида. Вроде нет проще критериев. Но по-моему проще чисто привести к жордановой форме и увидеть есть ли комплексные.

Lene81

Достаточным условием диагонализуемости (над C) является отсутствие кратных собственных значений.
Убедиться в их отсутствии можно вычислив НОД характеристического многочления и его первой производной.

seregaohota

ему не это надо, а когда спектр в [math]$\mathbb R$[/math], диагонализуемость необязательна при этом

stream_24

СПАСИБО!

mtk79

возьмем, к примеру, ранг матрицы. Это инвариант? Если да — то где он сидит в коэфф. хар.многочлена?

sonik_23rus

бред считать ранг у матрицы, которая имеет характеристический полином, но если уж на то пошло, то степень полинома соотвествует рангу.

mtk79

действительно, бред. но его никто и не предлагает делать

stream_24

Напомните, пожалуйста, достаточное условие различности всех собственных значений для вещественной, симметричной и положительно определенной матрицы.
Спасибо.

chepa02

для произвольной квадратной матрицы
---
различные собственные значения = характеристический многочлен не имеет кратных корней
многочлен F не имеет кратных корней = F и F' не имеют общих корней
два многочлена не имеют общих корней = результант этих многочленов не равен нулю
---
все собственные значения различны тогда и только тогда, когда
[math]$res_\lambda(\chi_A(\lambda\chi_A'(\lambda \neq 0 $[/math]

stream_24

Да, спасибо. В данном случае предполагается возможным вычисление характеристического многочлена, а что делать если такой возможности нет?
Есть ли какой-нибудь простой признак?

svetik5623190

результант этих многочленов
считать замучаешься

svetik5623190

Есть ли какой-нибудь простой признак?
А чем ты располагаешь?
Если есть комп, то характеристический многочлен не очень огромной матрицы считается очень быстро.
Поясни, в общем, для чего тебе это нужно: какой размер матрицы, какова её структура, какие есть технические средства, как быстро должна делаться процедура. И исходную задачу обрисуй - ибо если ты плаваешь в линале, то, может быть, ты его и применяешь не правильно, а может, применять-то надо и не его.

chepa02

в Mathematica такая функция есть, если что
и с алгоритмической точки зрения все очень просто

svetik5623190

Ручками считать - убьёшься стопудов, имхо.

lenmas

Есть ли какой-нибудь простой признак?
На уровне предположения: AA^*, где A --- невырожденная матрица

stream_24

К сожалению, сейчас нет возможности подробно описать исходную задачу.
Исходная матрица строится определенным образом, имеет порядок n (n>=1) и обладает описанными выше свойствами (и ещё некоторыми другими). Кроме того, её элементы зависят от двух параметров, а посему вычисление хар.полинома хоть и возможно, но уже для малых n (например, n = 4) приводит к (неупрощаемым Mathematicой) выражениям.
Уверен, что приведенное объяснение нисколько не проясняет задачу, однако оно даёт представление о том, что арсенал средств несколько ограничен.
PS Жаль, что я произвожу впечатление плавающего в линале студента:)

lenmas

В общем, беру свои слова обратно, че-то не получается :grin:
Если взять диагональную матрицу, то можно получить на диагонали совпадающие собственные значения :crazy:
P.S. Правда, когда A --- жорданова клетка, это вроде срабатывает, а я как-раз ориентировался по этому случаю :)

lenmas

(неупрощаемым Mathematicой)
А мэплом или матлабом воспользоваться? Там что, символьных вычислений нету что ли?

stream_24

Мне кажется ни к чему задавать вопросы в таком тоне.
Есть опыт, утверждающий, что упрощение выражений в Maple существенно лучше, чем в Mathematica? Напомню, что речь идёт об упрощении выражений, содержащих параметры.

lenmas

Ну, не хочешь, как хочешь, дело хозяйское
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: