Задачи по дифгему

vladlenamel

Плиз может кто знает как решать? Хотя бы что-то
2. На псевдосфере радиуса i в псевдоевклидовом R3 даны две точки P и Q, доказать что <P,Q>1=ch p(P,Q)
p(P,Q) - расстояние на L2, <P,Q>1 - псевдоскалярное произведение.
3.Тор вращения. Найти среднюю и гауссовы кривизны H и K в т.Р

vladlenamel

Ну пожааалста, помогите. С меня пиво\сок\шоколадка.
Третью я вроде посчитала(правда не уверена что прально) так что первые две больше всего интересуют...

chepa02

) Современная геометрия, ч 1, параграф 14
касательное пространство в единице - матрицы с нулевым следом
размерность (n^2 - 1)
г) гладкая

vladlenamel

Ой, спасибо, но у меня тока учебник Фоменко =\
А можно с пояснениями, хотя бы небольшими?

chepa02

A(t) - кривая в SL(n)
A(0)=E
det A(t) = 1
берем производную от обеих частей в нуле, получим: tr X = 0
(здесь X=A'(0) )
касательное пр-во в точке = множество касательных векторов ко всем кривым на многообразии, проходящим через эту точку
TeSL(n) = { X| tr X = 0}
и т.д.
-------
а вообще современная геометрия в сетке есть точно

vladlenamel

Нашла! Огромный сенькс!
А почему f гладкая и размерность такая?

chepa02

произвольная матрица - n^2 элементов - независимых переменных
и одно уравнение на них det A=1(или tr X=0) => (-1)
на GL(n) f гладкая, так как a_i_j и есть локальные координаты
SL(n) - гладкая поверхность в GL(n задаваемая одним уравнением det A=1
f как ограничение на поверхность тоже будет гладкой

vladlenamel

Понятно ! А про многообразие чтоб доказать надо будет атлас строить и функции перехода?

chepa02

нет, не нужно
пространство всех матриц это R^{n^2} => многообразие
SL(n) (по доказанной в книжке теореме) неособая гиперповерхность в пространстве всех матриц
а значит - подмногообразие
(карты в таких случаях автоматически получаются из теоремы о неявных функциях, про них вообще не надо ничего говорить)

vladlenamel

Ура! С первой разобрались, ещё раз огроооомное спасибо =) Как насчёт шоколадки 7

chepa02

не стоит того
что такое расстояние на L2 ?
Псевдоевклидово R3 - это значит ds^2=dx_1^2+dx_2^2 - dx_3^2 ?

vladlenamel

ок =)
Да, пседоевклидово R13 с одни отрицательным в скалярном произведении.
Расстояние на L2 наверно по метрике da^2 + (sh a)^2*db^2 (a - это хи от о до бесконечности, b-это фи от 0 до 2пи)
или по метрике (dr^2 + r^2 * dфи^2)/(1-r^2)^2 (r от 0 до 1, фи от 0 до 2пи)
(ещё в верхней полуплоскости метрика Лобача - ds^2=(dx^2+dy^2)/y^2 )
Не понятно откуда чосинус расстояния появится, и как расстояние между двумя точками посчитать, я могу вроде только расстояние от О до точки...

chepa02

)
псевдоэвклидово скалярное произведение:
<P,Q>= - P0 Q0 + P1 Q1 + P2 Q2
так как метрика в плоскости Лобачевского индуцирована метрикой в R3, то расстояние между точками на псевдосфере в метрике Лобачевского равно расстоянию между этими точками в R3 и равняется
p(P,Q)=длина вектора PQ = - (P0 - Q0)^2 + (P1 - Q1)^2 + (P2 - Q2)^2
ещё надо раскрыть скобки и учесть, что P и Q лежат на псевдосфере
квадраты координат уйдут, вместо них (-1)
откуда ch должен появиться - непонятно

vladlenamel

Угу... вообще непонятно =\

Unique

самому лень копаться - а вот тебе ссылка где есть наметки решения 2)
Мищенко - Фоменко
Курс Дифф геом и тополог
Стр 60

vladlenamel

нашла, боольшооое спасибо 8)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: