Винеровский процесс в применении к ценам акций

yurkuz

Применительно к модели Блэка-Шоулса: если мы рассматриваем приращения винеровского процесса за время h, то следующие величины - приращения процесса

имеют нормальное распределение с математическим ожиданием ah и дисперсией сигма в квадрате, умноженная на h.
Как же так? Ведь приращения винеровского процесса имеют нулевое среднее!
Если у нас есть винеровский процесс W(t то W(t)-W(s) имеет нормальное распределение с параметрами 0 и t-s. Насчёт дисперсии понятно, можно просто нормировать, разделив приращения на сигма. Но куда деть матожидание? Что в модели Блэка-Шоулса в действительности является винеровским процессом?

bhyt000043

Вообще-то, формула Блека-Шоулза предполагает, что цены подчиняются обобщенному винеровскому процессу [math]$dx=a\,dt+b\,dz$[/math], где [math]$dz$[/math] - винеровский процесс с параметрами 0 и 1.
Наверное, неявно предполагают, что если [math]$h$[/math] - мало, то среднее [math]$ah$[/math] по порядку меньше волатильности (=стандартное отклонение) [math]$\sigma\sqrt{h}$[/math] и им можно пренебречь

yurkuz

Для обобщённого винеровского процесса свойство приращений будет уже другим?
Под х подразумевается цена акции или её логарифм?

bhyt000043

Здесь под [math]$x$[/math] подразумевается цена, т.е. если [math]$S_t$[/math] - цена в момент времени [math]$t$[/math], то бесконечно малое приращение [math]$dS_t$[/math] цены [math]$S_t$[/math] за бесконечно малое время [math]$dt$[/math] имеет вид [math]$dS_t=aS_t\,dt+\sigma S_t\,dz$[/math].
В пределе при [math]$h\to 0$[/math]нормальность [math]$\Delta_h \ln S_t :=\ln S_{t+h}-\ln S_t$[/math] и нормальность [math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math] совпадают, ибо если обозначить через [math]$\delta$[/math] отношение [math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math], то
[math]$$\ln S_{t+h}-\ln S_t = \ln \frac{S_t+S_{t+h}-S_t}{S_t}=\ln (1+\delta) = \delta - \frac{1}{2}\delta^2+=\ldots=\delta+o(\delta)$$[/math].
Т.е. если [math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math] распределено нормально с параметрами [math]$a$[/math] и [math]$\sigma^2$[/math], то [math]$\Delta_h \ln S_t$[/math] распределено так же

yurkuz

С винеровским процессом мне теперь всё понятно. Осталось только непонятным, почему нормальное распределение имеют не приращения процесса S_{t+h}-S_t, а приращения, делённые на S_t? Потому что это обобщённый винеровский процесс?

bhyt000043

Если [math]$x$[/math] - стандартный винеровский процесс с параметрами 0 и 1, то обобщенный - это процесс [math]$z$[/math] для приращений которого
[math]$dz=a\,dt+b\,dx$[/math] и они независимы. Используя независимость, получаем, что за малое время [math]$\delta t$[/math] приращение [math]$\delta z=a\delta t + b\delta t$[/math] имеет нормальное распределение со средним [math]$a\delta t$[/math] и дисперсией [math]$b^2\delta t$[/math].

bhyt000043

Предполагается, что нормальность процентного изменения [math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math] "более-менее" описывает поведение цены. А с точностью до малых большего порядка [math]$\ln S_{t+h}-\ln S_t$[/math] и [math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math] есть одно и то же

yurkuz

С логарифмами всё понятно :) С обобщённым винеровским процессом - тоже. Только один вопрос остался: почему нормальное распределение имеют величины , ведь по свойствам винеровского процесса нормальное распределение имеет только числитель этой дроби?

bhyt000043

Ну да, но это ничего не даст для практики. Конечно, если рассмотреть фиксированный момент [math]$t$[/math] и цену [math]$S_t$[/math], то малое приращение [math]$\delta S_t=S_{t+h}-S_t$[/math] имеет нормальное распределение с параметрами [math]$aS_t\delta t$[/math] и [math]$b^2S_t^2\delta t$[/math], но все это при малом [math]$h$[/math] и больше этого в принципе ничего не получается, но если взять процентное изменение [math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math] вместо обычного приращения [math]$S_{t+h}-S_t$[/math] (то есть от цен акций переходить к доходностям то за малое время [math]$\delta t$[/math] процентное изменение [math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math] имеет распределение с параметрами [math]$a\delta t$[/math] и [math]$b^2\delta t$[/math]
В чем суть? Распределение [math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math] - стационарно (при предположениях, что волатильность (=стандартное отклонение) не меняется со временем (хотя это неверно, но для лекций этого достаточно :) ) и снос [math]$a$[/math] не меняется со временем) - т.е. распределение не меняется со временем.
Если же взять [math]$S_{t+h}-S_t$[/math], то у него получается нормальность с параметрами [math]$aS_t\delta t$[/math] и [math]$b^2S_t^2\delta t$[/math] - меняется с изменением цены

yurkuz

У меня были ошибочные представления о винеровском процессе, значит. :(
То есть если у нас есть обобщённый винеровский процесс с параметрами a и b, то при известном состоянии в момент t имеется в виду условное распределение, которое будет иметь параметры не 0 и , не и , а именно и ?

bhyt000043

Чё-то я не понял смысл вопроса..

yurkuz

Мне не очень понятно, почему в параметры нормального распределения приращений S_{t+h}-S_t влезло S_t... То, что у стандартного винеровского процесса параметры будут 0 и h это ясно, мне непонятно, почему у обобщённого они умножаются не просто на a и b, а ещё и на S_t.

bhyt000043

Потому что мы постулируем: [math]$dS_t=aS_t\,dt + \sigma S_t\,dz$[/math], [math]$a,\ b$[/math] - постоянные, [math]$S_t$[/math] - фиксировано в моменте. Это означает, что [math]$S_{t+\delta t}-S_t=aS_t\delta t+\sigma S_t\delta z$[/math] (при [math]$\delta t\to 0$[/math]. Так как [math]$\delta z \sim N(0, \delta t)$[/math], то [math]$S_{t+\delta t}-S_t\sim N(aS_t\delta t, \sigma^2S_t^2\delta t)$[/math]

yurkuz

То есть здесь (как ты пишешь в одном из первых постов) а и сигма - на самом деле не константы, а линейные функции S_t?

bhyt000043

Я искренне извиняюсь, я напутал. Моя вина :)
Если [math]$z$[/math] - винеровский процесс с параметрами [math]$a$[/math] и [math]$b^2$[/math], то [math]$dz=a\,dt+b\,dx$[/math], где [math]$x$[/math] - стандартный винеровский процесс с параметрами 0 и 1. И плюс, в винеровском процессе предполагается, что [math]$a,b$[/math] - константы.
Если [math]$a$[/math] и [math]$b$[/math] - есть функции от [math]$S_t$[/math] и [math]$t$[/math] - то это уже не винеровский процесс! Это называется процессом Ито.
Так что исправляюсь: цена ведет себя как процесс Ито, а процентное изменение - как обобщенный винеровский процесс.

yurkuz

Огромное спасибо! :) Всё понятно теперь!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: