Решение систем нелинейных уравнений

lev-rechin

f(x) = 0
для начала рассмотрим метод простой итерации:
x[ i+1 ] = x [ i ] + psi (x[ i ]) f(x[ i ] где psi - знакопостоянная.
вопросы:
psi это скалярная функция или матрица?
если у меня n уравнений и n неизвестных, то f(x) - являет собой вектор, тогда в указаной выше итерационной формуле возникает вопрос как нумеровать уравнения.
и наконец как звучит критерий сжимающего отображения в случае системы уравнений?

spiritmc

$$ \vec f (\vec x) = \vec 0 $$
$$ d\vec f = J_f d\vec x $$
$$ J_{ij} = \frac {\partial f_i}{\partial x_j} $$
$$ 0 \approx \vec f(\vec x_k+1) \approx \vec f(\vec x_k) + d\f(\vec x_k)
$$ \vec x_k+1 = \vec x + d\vec x = \vec x - J_f^{-1} \vec f(\vec x_k) $$
> для начала рассмотрим метод простой итерации:
> x[ i+1 ] = x [ i ] + psi (x[ i ]) f(x[ i ] где psi - знакопостоянная.
> вопросы:
> psi это скалярная функция или матрица?
Матрица. Ср. "J"
> если у меня n уравнений и n неизвестных,
> то f(x) - являет собой вектор,
> тогда в указаной выше итерационной формуле возникает вопрос,
> как нумеровать уравнения.
Не понял.
По порядку, разумеется!
> и наконец как звучит критерий сжимающего отображения
> в случае системы уравнений?
Возьми любую норму.
Я брал сумму модулей координат.
---
"Vyroba umelych lidi, slecno, je tovarni tajemstvi."
Karel Capek

lev-rechin

метод ньютона:
x[ i+1 ] = x[ i ] - (f'(x[ i ] ^ (-1) f(x[ i ])
f' считается неплохо, трехдиагональная, но уравнений дохрена (~1000 в лекциях указывалась что можно посчитать обратную только для x[0], и дальше использовать ее для всех x[ i ], тем самым потеряем только в порядке сходимости (в лекциях указывалось ~1.7 вместо 2, откуда цифра 1.7? чем в таком случае (фиксированная матрица (f'(x^(-1 метод ньютона будет отличаться от метода простой итерации (формула получается таже, только вместо psi(x) теперь (-(f'(x^(-1?

spiritmc

По-моему, ничем.
Это, вроде, и есть простой итерационный метод.
---
...Я работаю...

lev-rechin

багфикс теховского куска (твой не компилился)
$$ \vec f (\vec x) = \vec 0 $$
$$ d\vec f = J_f d\vec x $$
$$ J_{ij} = \frac {\partial f_i}{\partial x_j} $$
$$ 0 \approx \vec f(\vec x_{k+1}) \approx \vec f(\vec x_k) + df(\vec x_k) $$
$$ \vec x_{k+1} = \vec x + d\vec x = \vec x - J_f^{-1} \vec f(\vec x_k) $$
а по существу: то что ты написал - обоснование корректности метода ньютона, а насчет нумерования уравнений - вопрос открытый в случае если psi(x) скалярная.

lev-rechin

Возьми любую норму.
Я брал сумму модулей координат.

не, не определение, где rho(g(xg(y <= q rho(x,y) и 0<q<1, а критерий, который в случае одного уравнения что-то типа f' < 0 или что-то вроде

lev-rechin

в случае если psi(x) скалярная.

или подразумевали строго матрицу, но не уточнили?

spiritmc

А, вон ты что имеешь в виду!
Нумеровать произвольно.
У тебя просто psi изменится для другой нумерации,
если это матрица.
Если скалярная, то и меняться не будет.
---
"Vyroba umelych lidi, slecno, je tovarni tajemstvi."
Karel Capek

spiritmc

Кстати, скалярная psi есть просто скалярная матрица:
$$ psi_{ij} = a \delta_{ij} $$
\delta --- символ Кронекера.
---
"Vyroba umelych lidi, slecno, je tovarni tajemstvi."
Karel Capek

lev-rechin

У тебя просто psi изменится для другой нумерации, если это матрица.
Если скалярная, то и меняться не будет.

кажется я понял, случай скаляра - это то же самое что матрица psi * E, тоогда более менее понятно как нумеровать уравнения .... спасибо

lev-rechin

Кстати, скалярная psi есть просто скалярная матрица:
$$ psi_{ij} = a \delta_{ij} $$
\delta --- символ Кронекера.

я пришел к тому же независимо

spiritmc

>> Возьми любую норму.
>> Я брал сумму модулей координат.
> не, не определение, где rho(g(xg(y <= q rho(x,y) и 0<q<1,
> а критерий, который в случае одного уравнения что-то типа f' < 0
> или что-то вроде
У-у-у.
Уверен, что он останется для многомерного случая?
У тебя это может соответствовать неподвижности на прямой,
а в пространстве уже могут быть вращения (например, по кругу).
---
"Vyroba umelych lidi, slecno, je tovarni tajemstvi."
Karel Capek

spiritmc

Ура!
Радует, что я ещё несовсем забыл математику. : ) ) )
---
"Vyroba umelych lidi, slecno, je tovarni tajemstvi."
Karel Capek

lev-rechin

У-у-у.
Уверен, что он останется для многомерного случая?

точно знаю что есть, на 2м курсе нам его зубрилин давал, там было что-тот типа отрицательно определенный якобиан, но я не помню потоому переспросил.
У тебя это может соответствовать неподвижности на прямой,
а в пространстве уже могут быть вращения (например, по кругу).

не помня критерия(мб это и не критерий, а просто достаточное условие) не берусь судить, но вроде бы не откуда взятся вращению (если речь конечно о 2d)

spiritmc

>> У-у-у.
>> Уверен, что он останется для многомерного случая?
> точно знаю что есть, на 2м курсе нам его зубрилин давал,
> там было что-тот типа отрицательно определенный якобиан,
> но я не помню потоому переспросил.
Как человек, которого долго учили эксперименту,
могу предложить просто напрямую проверить гипотезу
об отрицательной определённости якобиана.
Думать серьёзно --- лень.
>> У тебя это может соответствовать неподвижности на прямой,
>> а в пространстве уже могут быть вращения (например, по кругу).
> не помня критерия(мб это и не критерий, а просто достаточное условие)
> не берусь судить, но вроде бы не откуда взятся вращению
> (если речь конечно о 2d)
Ты, видно, математик, тебе виднее.
Может быть незамкнутая кривая.
---
...В n-мерном пространстве все мы кажемся слишком плоскими...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: