Теорема о пополнении метрического пространства

Marina32

подскажите, плз, формулировку(самое начало курса функана)
не могу понять, что это за теорема
буду благодарен за любую помощь

avgustinka

Ну... наверное, о том, что для любого метрического пространства A, существует и единственно полное метрическое пространство B, что A плотно в B.
P.S. Вложенность и единственность, естественно, с точностью до изометрии.

Marina32

ага, спасибо.
уже нашел в Колмогорове, Фомине

Marina32

+5
тема закрыта

elektronik

Ну да!
Для каждого метрического пространства существует и единственное с точностью до метрических изоморфизмов пополнение его.
Под пополнением понимается такое полное метрическое пространство, что существует его подмножество, которое всюду плотно в нём, и биекция из нашего пространства в это подмножество.

Rumata

Вообще наверное это оффтопик, но мне кажется что такие теоремы лучше запоминать как теоремы о существовании универсального объекта в некоторой естественной категории. Т.е. для всякого метрического пространства L существует пара, состоящая из полного метрического пространства L' и изометрии f : L-->L' такая что для любой изометрии g : L-->M, где M -- полное метрическое пространство, существует притом единственная изометрия h : L'-->M такая, что соответствующий треугольник коммутативен (т.е. g=hf). Ясно, что универсальный объект (т.е. пара) единствен с точностью до канонического изоморфизма. В эту схему укладываются определения тензорного произведения набора линейных пространств, свободной группы над заданным множеством, универсальной обертывающей алгебры данной алгебры Ли и т.д.
P.S.: О теории категорий кстати немного есть в учебнике Кириллова-Гвишиани; если интересно, могу дать и дальнейшие ссылки.

fatality

Это действительно оффтопик. Не все привыкли мыслить на категорном уровне, хотя это часто бывает полезно. Вопрос задан, скорее всего, прикладником, и рассуждения о коммутативных диаграммах и прочей "абстрактной чепухе" только отпугнут его. Здесь я вполне солидарен с В.И.Арнольдом - разъясняя в сущности простые вещи, следует напирать не на общность понятий, достигаемую в современной математике, а как раз на простоту ключевых идей и естественность их возникновения. Один хороший пример часто стоит больше и больше дает для понимания, чем час упражнений в бурбакизме.
Если автор вопроса или другие все-таки захотят узнать о теории категорий побольше, то кроме Кириллова-Гвишиани (теоремы и задачи ФА) и Кострикина- Манина (Линейная алгебра и геометрия) могут познакомиться с книжкой Маклейна - Категории для работающего математика, недавно изданной Физматлитом. В Сети имеется ее оригинал на английском - Cathegories for working mathematician.
Кстати, вот многие пишут о хороших книгах физ-мат тематики, которые в свое время помогли им разобраться в нетривиальных вещах. Было бы неплохо устроить тред, в котором каждый мог бы поделиться своими воспоминаниями на эту тему Или уже было такое?

Rumata

Да, кстати на моем компе ( -- > Shared Books) есть простой текст по категориям с большим количеством примеров Categories.ps
вот многие пишут о хороших книгах физ-мат тематики, которые в свое время помогли им разобраться в нетривиальных вещах. Было бы неплохо устроить тред, в котором каждый мог бы поделиться своими воспоминаниями на эту тему
Хорошая идея, поддерживаю!

fatality

Вы автор, как я понимаю. Респект, толково. Я всегда думал. что про соц. подход сказал кто-то на Западе. а у нас повторил Кириллов - эта фраза действительно хорошо отражает суть дела в ТК:)

Rumata

Здесь я вполне солидарен с В.И.Арнольдом - разъясняя в сущности простые вещи, следует напирать не на общность понятий, достигаемую в современной математике, а как раз на простоту ключевых идей и естественность их возникновения.
Тут я соглашусь, если речь идет только о первом этапе обучения. Хотя внутреннего содержания в теории категорий вроде немного, но она сильно помогает установить связи между разными конструкциями в математике и иногда даже направить мысль в правильном русле. К примеру, что общего между несвязным объединением множеств, прямой суммой абелевых групп, амальгамированным произведением групп и тензорным произведением коммутативных алгебр с единицей?
Один хороший пример часто стоит больше и больше дает для понимания, чем час упражнений в бурбакизме.
Вспоминается одно высказывание И.М. Гельфанда: "Теории приходят и уходят, а примеры остаются".

Rumata

Вы автор, как я понимаю. Респект, толково.
Спасибо! Ну автор -- это сильно сказано, я просто скомпилировал из разных источников (а потом уже увидел книгу Маклейна).

fatality

Кстати, о Ю.И. Манине. Это уж точно оффтопик. Не хотите ознакомиться с маленьким раритетом - лекциями Манина "Физика и математика", изданными брошюрой в серии "Знание" много лет назад? Один хороший человек из колхозного форума недавно отсканировал ее специально для меня:)

Rumata

у нас повторил Кириллов - эта фраза действительно хорошо отражает суть дела в ТК:)
Кстати, в старом издании лекций Кириллова по матану в НМУ я видел "экономический смысл когомологий Чеха" (он написал, что раньше модно было придавать математическим понятиям физический смысл (как то производная -- скорость а теперь -- экономический). Очень меня это тогда позабавило

fatality

появилась мода на "экономический смысл". Финансовая математика так называемая - вещь более серьезная - как расцвела! Впрочем, помню одну небольшую (не новую) монографию по психологии, где составляющие мыслительных процессов, волевые акты и пр. исследовались, грубо говоря, алгебраически - то есть моделировались "соответствующей" аксиоматикой - а дальше анализировались ее неожиданные следствия, но уже в психологических терминах:) Так что традиция не нова

Rumata

Не хотите ознакомится с маленьким раритетом - лекциями Манина "Физика и математика", изданными брошюрой в серии "Знание" много лет назад?
Очень хочу! Как ее можно заполучить?

fatality

Напишите, куда залить

Rumata

Вроде я создал некую папку Upload. Попробуйте залить в нее, пожалуйста. Если не получится, то это значит что я сделал не так -- буду разбираться.

fatality

Читайте на здоровье

Rumata

Большое спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: