Как называется уравнение (Ax,x) = b

KiNo

Что известно про уравнение (Ax,x) = b? A - квадратная комплексная матрица, x - неизвестный комплексный вектор, b - комплексное число, ( , ) - скалярное произведение.
Что читать про это уравнение? Как оно называется? Как гуглить по нему?

griz_a

а скалярное произведение векторов - это вектор? :confused:

KiNo

Я описался, справа число. Исправил исходный пост.

griz_a

Их же целая куча, например, для A=E это все векторы с фиксированной нормой и не только.

chepa02

не только?
ну а для A не равного E надо поменять норму

svm_mail

А - самосопряженный оператор? тогда перейди в базис, в котором он диагонален, получишь уравнение вида (х,х)=b'.

Vlad128

А - самосопряженный оператор?
Если даже нет, то можно сделать таковым.

Lene81

Если даже нет, то можно сделать таковым.
Сделай мне самосопряженной жорданову клетку
Оператор должен быть диагонализуемым, а для этого необходимо и достаточно, чтобы он коммутировал со своим сопряженным.

Vlad128

Что-то я торможу, неужели в комплексном случае нет аналога трюку (Ax,x) = (1/2 (A*+A)x,x) ?

Vlad128

Ну, кстати, точно нету, потому что если A — самосопряженный, то (Ax,x) — вещественное число.
Поэтому и предложение альфы тоже справедливо только для самосопряженных операторов. Ну, в принципе, оно и совпадает с предложением .

chepa02

если проблема только в вещественности b, почему не взять вещественную и мнимую часть отдельно?

Vlad128

Ну да, так и надо:
A = B + C (не помню обозначений в эрмитовом разложении, но B* = B, C* = -C)
Тогда (Ax,x) = (Bx,x) + (Cx,x)
Причем (Bx,x) — вещественное число, (Cx,x) — чисто мнимое (проверяется взятием сопряжения).
Дальше решается два уравнения независимо. Надо искать общие решения :)

narkom

Капитан очевидность, обратил внимание, что 2B = A+A', 2C = A-A'
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: