Вписать в треугольник параллелограмм

kasmalika

Туплю под вечер.
Помогите решить задачу Евклида, плз. В данный треугольник вписать параллелограмм наибольшей площади, так чтобы обе стороны параллелограмма лежали на сторонах треугольника, а вершина на третьей стороне треугольника.
Понятно, что надо как-то через общий угол треугольника и параллелограмма, но как именно не соображу.

iri3955

таких параллелограммов 3 и они равновелики
И 3я вершина лежит на середин соответствующей стороны.
Мож, по-другому как-то задача звучит?
upd. Условия максимальной площади в данном случае излишне

kasmalika

мне нужно какое-то доказательство через исследование функции на экстремум

luherstag

> Условия максимальной площади в данном случае излишне
Неверно.

a101



В данный треугольник вписать параллелограмм наибольшей площади, так чтобы обе стороны параллелограмма лежали на сторонах треугольника, а вершина на третьей стороне треугольника.
Посмотрим на точку на третьей стороне. От нее параллелограмм строится единственным образом (просто проводим прямые параллельные другим сторонам треугольника). Если считать, что точка делит сторону в отношении a : b, то мы этими линиями отсечем два треугольника, площади которых составляют [ a / (a+b) ]^2 и [ b / (a+b) ]^2 от площади исходного. Чтобы параллелограмм был максимальной площади нужно, чтобы сумма [ a / (a+b) ]^2 + [ b / (a+b) ]^2 = (a^2 + b^2) / (a+b)^2 была минимальная. Минимальная она при a = b (середина стороны) и площадь параллелограмма в этом случае будет просто ровна половине площади треугольника.

iri3955

упс, точно...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: