Равномерная непрерывность

stm2781833

Здравствуйте!
Скажите пожалуйста как показать, что функция [math]\sqrt{1-t}[/math] равномерно непрерывна на [math][-1,1][/math] ?

stm2781833

Функция (1-t^2)^(1/2)

iri3955

Функция, непрерываная на компакте, равноверно непрерывна на нём... кажется

urka3000

теорема Кантора

stm7543347

Может, имеется в виду, еще до нее, напрямую по определению равномерной непрерывности?

stm7543347

График твоей функции, кстати, есть верхняя полуокружность, дуга окружности с центром в нуле, радиуса 1.

iri3955

Так оно так и доказывается. По определению.
Фиксируем эпсилон, получаем покрытие отрезка. Далее либо по определнию компакта выбираем конечное подпокрытие, а в нём, минимальную область, являющуюся пересечением смежных элементов покрытия. Её радиус и будет искомой дельтой.
Либо, если не хочется пользоваться определением компакта, то методом деления пополам (как доакзывается комактность отрезка).

lenmas

Функция (1-t^2)^(1/2)
Лучше по элементарному неравенству |x^(1/2)-y^(1/2)|<=|x-y|^(1/2).
Тогда
[math]  $$  |\sqrt{1-t^2}-\sqrt{1-s^2}|\leqslant\sqrt{|t^2-s^2|}\leqslant\sqrt2\sqrt{|t-s|},  $$  [/math]
поэтому для любого [math]$\varepsilon>0$[/math] найдется [math]$\delta=\varepsilon^2/2>0$[/math], для которого
из |t-s|<delta будет следовать |f(t)-f(s)|<epsilon.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: