взаимооднозначное соответствие выпуклых компактов

kultur8

как доказать, что между двумя выпуклыми компактами одинаковой размерности существует взаимооднозначное соответствие?

h_alishov

Для этого достаточно показать, что можно построить взаимнооднозначное соответствие выпуклого компакта единичному шару.
Пусть X - выпуклый компакт размерности n. Возьмем x0 - точку внутри компакта. То, что x0 внутри означает, что inf_ {по всем х из границы X} ||x0 - x|| > 0 => Для любого d = { d1, d2, .., dn} из Rn, ||d|| = 1 можно сопоставить положительное число ksi(d такое что x0 + ksi(d) * d принадлежит границе X.
После этого строим преобразование следующим образом:
x0 -> 0
y из X -> (y - x0) / ksi( (y - x0) / ||y - x0|| )
Обратное преобразование выглядит так:
0 -> x0
y из единичного шара -> x0 + y * ksi( y / || y|| )
Можно даже показать, что построенное преобразование будет непрерывным.

elektronik

Может ещё то, что существует такая внутренняя точка x0?!
Это, на первый взгляд, не очевидно!

h_alishov

Возьмем n+1 точку из X, не лежащих в одной гиперплоскоти размерности n-1. Если не удалось взять => весь компакт лежит в гиперплоскости размерности n-1 и имеет размерность меньше, чем n. Значит, можем взять. Назовем эти точки x1, x2, .., xn, x_{n+1}.
Легко видеть, что точки x = a1 * x1 + a2 * x2 + ... + an * xn + a_{n+1} * x_{n+1}, где
aj >= 0, a1 + a2 + .. + a_{n+1} = 1 принадлежат X в силу выпуклости X.
Возьмем тогда точку x0 = (x1 + .. + x_{n+1}) / (n+1).
Она и будет внутренней.

elektronik

Да, правильно! Молодец.
Я пока писал свой предыдущий пост догадался как раз до такого решения, поэтому сказал, что "на первый взгляд, не очевидно".. зато на второй! =)
ЗЫ только я подумал так: "тогда выпуклая оболочка этих точек входит в наш компакт"! =)
А с размерностями ты немного попутал, но суть ясна! &)

h_alishov

Почему попутал?
Вроде у нас в пространстве тетраэдр четырьмя точками задается. Т.е как раз n+1?

kultur8

большое спасибо %)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: