уравнение в целых числах

na-ta

помогите с задачкой:
доказать, что нет целых решений уравнения
x^4 + y^4 = z^2

seeknote

наводка:
смотри младшие порядки

tsi448

частный случай теоремы Ферма

seeknote

ну не совсем...
там все степени равные

seeknote

а вот ноль подходит

griz_a

Так как [math]$x^2, y^2,z$[/math] образуют пифагорову тройку, то[math]$x^2=2mn$[/math] [math]$y^2=(m^2-n^2)$[/math], [math]$z=(m^2+n^2)$[/math], m,n - целые.(можно считать, что числа взаимно простые, иначе будем делить на 4ые степени их простых общих делителей, пока не станет так)
m и n в свою очередь тоже взаимнопростые, поэтому т.к y нечетно
[math]$m=k^2+l^2, n=2kl, y=k^2-l^2$[/math], k,l - взаимнопростые, одно четное, другое нет
[math]$x^2=4kl(k^2+l^2)$[/math]
Так как [math]$k,l,k^2+l^2$[/math] попарно взаимно просты, то каждое из них - полный квадрат
Таким образом по тройке x, y, z можно построить тройку
[math]$\sqrt{k},\sqrt{l},\sqrt{k^2+l^2}$[/math]
При этом max(|m|, |n|)<min( |x|, |y| max(|k|,|l|)<min(|m|,|n| если среди чисел нет нулей.
Так как из ненулей мы такой процедурой нуля не получим, то таких троек без нулей не существует. С нулями - 0,x^2,x
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: