Сумма компактов компакт

dal-las

В произвольном топологическом пространстве два компакта К_1 и К_2.
Как доказать, что их сумма К_1+К_2={x+y: x из К_1, y из К_2} является компактом?

Xephon

А что такое сумма в топологическом пространстве?

dal-las

Оно линейное топологическое пространство.

Nefertyty

Сначала доказываешь, что прямое произведение K_1 \times K_2 - компакт.
А K_1 + K_2 будет его образом при непрерывном отображении (x, y) \mapsto x+y

dal-las

Спасибо.

alfa114

Сумма топ. пространств - это теоретико-множественное объединение самих пространств с топологией, образованной попарным теоретико-множественным объединением элементов топологий слагаемых, если мне склероз не изменяет.

avgustinka

изменяет.
то что ты написал -- это объединение.

alfa114

Ничего себе А сумма тогда как определяется?

goga7152

Сообщение удалил

alfa114

"Прав", не "права"
Я тут посмотрел определение в Энгелькинге - там действительно то, что я написал, зовётся суммой.

avgustinka

для конечного числа пространств сумма -- тоже самое, что произведение.

avgustinka

угу, похоже...
просто не знал, что к обычным (не линейным) топологическим пространствам применяется термин сумма. =)

stm7543347

А просто в лоб нельзя?

alfa114

Нет, что ты! У них совсем разные элементы: у произведения - кортежи из множителей, а у элемент суммы - одна точка из одного из слагаемых.

avgustinka

Нет, сумма какого-то множества ТВП (V_a, a\in A) -- это подмножество прямого произведения всех V_a, состоящее из элементов, у которых лишь конечное число координат отлично от 0. Топология индуцируется пространствами V_a. Это для ТВП.

alfa114

Как-то не проникся этим определением.
А если рассмотреть пример: отрезки [0,1] и [2,3] евклидовой прямой, топология порождена метрикой.
Тогда их сумма несвязна, потому что каждый отрезок открыт и замкнут в своей топологии и, следовательно, в топологии суммы тоже, но их произведение связно, ясное дело.
Поэтому, мне кажется, для любого числа пространств сумма и произведение - совсем разные вещи.

goga7152

Сообщение удалил

alfa114

Да, действительно, когда я придумывал контрпример, про "векторность" забыл.
Правда, теперь у меня в голове возникла несогласованность между свойствами и определениями просто топологических пространств, в знании которых я уверен, как христианин в Писании, и свойствами ТВП, которыми я никогда не интересовался.
Поскольку в ТВП я плохо разбираюсь, дальше вести дискуссию на эту тему не буду...
Спасибо за ссылку.

goga7152

Сообщение удалил

Vikuschechka9

существует единственный морфизм h ...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: