Разобраться с задачей по матстату

tatikx

Задача о случайных величинах.
Пусть X,Y ~ N(0,a^2) и независимы.Найти функцию распределения от
1) p = sqrt(X^2 + Y^2)
2) f = arctg( X / Y)
P.S. Не могу понять саму суть как считаются функции распределения от сложных случайных велечин.Объясните, если кто-нибудь знает(лучше всего на примере)

dimaxd

Вот решение первой задачки, старался показать суть как считать такие функции распределения.
Вторую задачку попробуй решить сам по такому же принципу.

(Только что заметил: в формулах перехода к полярным координатам в интеграле опечатка: вместо x надо y_1, вместо y - y_2.)

tatikx

Спасибо за задачку!
Получается, что эта функция распределения почти такая же как для суммы X+Y?
И квадратным корнем или арктангенсом мы только задаем область определения и интегрирования. Так что ли ?

dimaxd

Получается, что эта функция распределения почти такая же как для суммы X+Y?
Нет, сумма X+Y двух нормальных сл. величин - также нормальная сл. величина, а sqrt(X^2+Y^2 как видно из результата, не является нормальной.
И квадратным корнем или арктангенсом мы только задаем область определения и интегрирования. Так что ли ?
Грубо говоря, да: если требуется найти распределение f(X,Y) (где X, Y независимы то функция f определяет область D, по которой мы будем интегрировать.

tatikx

Я все понял ! (ну почти все ) Нужно просто нарисовать область на плоскости и записать в виде интуров! Эврика. А как поступить , если нам нужно найти функцию распределения не от двух новых сл. велечин, а от старой, но только извращенной, например
X ~ N(0,1 а нужно найти ФР от Y =sign(X-1)?
ЗЫ: у меня получилось P(sign(X-1) < z ) = 0, при z<0 ;P(sign(X-1) < z ) = const, при 0<=z<1 ;
P(sign(X-1) < z ) = 1, при z>=1
Получилось из тех соображений, что Y может принимать только 2 значения 1 и 0.

elektronik

Y=sign(X-1)
p(x) = 1/ \sqrt(2\pi) exp (- x^2 / 2) -- плотность X ~ N(0,1)
P(Y < z) = 0, если z <= -1
P(Y < z) = \int_{(-\inf,1)} p(x)dx, если -1<z<=1
P(Y < z) = 1, если z>1

tatikx

Не понимаю как такое может быть ?
{
{ P(Y < z) = 0, если z <= -1
{ P(Y < z) = \int_{(-\inf,1)} p(x)dx, если -1<z<=1
{
Ведь Y(а именно ф-я sign не может быть меньше нуля, значит и вероятность этого P(Y < z) должна быть равна нулю?
ЗЫ: и почему тогда предел от минус бесконечности, а не от -1

NHGKU2

Ведь Y(а именно ф-я sign не может быть меньше нуля
Функция sign(x)={ -1 при x<0, 0 при x=0, 1 при x>0 }. Она меньше нуля при x<0

tatikx

На счет sign я погорячился Да... бывают провалы в памяти.
Но вот как ты выбрал пределы интегрирования неясно. Ну то есть интуитивно я догадываюсь и наверное сам выбрал бы такие же, но какое этому факту есть рациональное объяснение?

NHGKU2

Но вот как ты выбрал пределы интегрирования неясно. Ну то есть интуитивно я догадываюсь и наверное сам выбрал бы такие же, но какое этому факту есть рациональное объяснение?
Где пределы интегрирования? Если , то выбирал автор, а не я
В общем-то, это просто замена переменной в двойном интеграле, есть в любом учебнике матана.
Например, вот (из Демидовича):

tatikx

Да нее... Матан - это пройденый этап
Я говорю про
{P(Y < z) = \int_{(-\inf,1)} p(x)dx, если -1<z<=1 }
интересует, каким образом выбирать пределы(особенно верхний)

NHGKU2

Если -1<z<=1, то P(Y < z) = P(sgn(X-1) < z) = P(X-1 <= 0) = P (X <= 1) = F_X(1) = \int_{-\inf}^1 p_X(x) dx.
(Здесь F_X(x) - функция распределения случайной величины X, p_X(x) - её плотность).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: