Жорданова нормальная форма

Julia080682

Правильно ли я понимаю, что алгоритм таков:
1. Ищем собственные значения.
2. Если все различны, то матрица просто диагональна.
3. Если есть кратные (назовём его x для кратного корня считаем n-(ранг (A-xE это будет размер соответствующей ему жордановой клетки.
4. Получаем в итоге блочно-диагональную матрицу.

Остаётся вопрос:
Как в данном случае обращаться с комплексными собственными значениями?

chepa02

Как в данном случае обращаться с комплексными собственными значениями?
чем они хуже других?
вообще теорема о приведении к жордановой форме только для комплексных матриц верна

Vlad128

Как в данном случае обращаться с комплексными собственными значениями?
Если изначальная матрица вещественная, то можно не искать отдельно для каждого из пары сопряженных собственных значений, а только для одного. Т.е. на самом деле с комплексными корнями работы в два раза меньше выходит =)

Vadim46

3. Если есть кратные (назовём его x для кратного корня считаем n-(ранг (A-xE это будет размер соответствующей ему жордановой клетки.
Неправда. Может быть несколько жордановых клеток с одним корнем. Нужно считать ранги степеней матрицы A-xE.

Vlad128

3. Если есть кратные (назовём его x для кратного корня считаем n-(ранг (A-xE это будет размер соответствующей ему жордановой клетки.
"размер клетки, соответствующей собственному значению" - это явно что-то неправильное. Я уже позабыл, по по-моему там легко можно найти только количество клеток. А вот чтобы узнать размер каждой, надо искать размерности ker (A-xE)^k все-таки.

Vlad128

А вот и я не один такой, значит то что ты написала - это количество клеток.

Vadim46

Количество клеток размера не меньше k равно rk (A-xE)^k - rk (A-xE)^(k+1). Как-то так, по-моему.

Vlad128

Круто, не знал о такой формуле. Хотя придумать можно, конечно. В задачнике каком-нибудь встретил?

Vadim46

Не, просто посмотри, что происходит с клеткой при увеличении степени ;) Единички над диагональю сдвигаются => ранг постепенно уменьшается, пока не дойдет до 0, с этого момента он постоянен.

Vlad128

Я ж говорю, вывести можно, просто идеи в голову не приходило.

Julia080682

Объясните алгоритм подробнее, пожалуйста!
Какую степень и где нужно брать?

Vlad128

А в книжке не написано? Или непонятно что?

chepa02

не надо никаких формул запоминать
надо понять(посчитать руками что при возведении в степень матрицы с нулями на главной диагонали и с единицами над ней, единицы сдвигаются вверх
и надо посмотреть, какой получается ранг у степени, если в матрице один большой блок, а какой если там два поменьше

Julia080682

Не очень понимаю всё-таки. :( Отдельно блок рассмотреть? Какого размера? Для какого значения?

Vlad128

Ну для начала просто рассмотри матрицу
[math]$$A = \left( \begin{array}{cccccc}  0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0  \end{array}\right)  $$[/math]И найди [math]$A^k$[/math] для k = 1, 2, 3, ... n.
Можешь начать с n = 3 или 4.

Julia080682

Да, я понимаю, что она обнулится :)
Значит, мне нужно обнулять A-xE (умножать её на себя, пока ранг не перестанет меняться) - и это будет размер требуемой клетки? А если она не одна, что делать дальше?
Помню, с комплексными x на диагонали всё равно получались вещественные числа, когда мы не втором курсе считали! Как это делается?

Vlad128

Потом то же самое для матрицы
[math]$$C = \left( \begin{array}{c|c}  A_1 & 0 \\ \hline  0 & A_2   \end{array} \right)$$[/math],
где A_1 и A_2 — матрицы такого же вида, как в прошлом посте.
В принципе ясно, что
[math]$$C^k = \left( \begin{array}{c|c}  A_1^k & 0 \\ \hline  0 & A_2^k  \end{array} \right)$$[/math], дальше уже все будет понятно.

Vadim46

Давай пример.
Допустим, у тебя матрица 5x5, x - собственное число кратности 4, rk (A-xE) = 3.
Это значит, что есть 5-3=2 клетки с таким собственным числом, а их суммарный размер равен 4.
Тут возможны 2 случая: одна клетка размера 1, одна - размера 3 или две клетки размера 2.
Чтобы их различить, найдем rk(A-xE)^2. В первом случае он будет равен 2 (маленькая клетка совсем исчезнет, а от большой останется ранг 3-2=1 а во втором - 1 (исчезнут обе клетки).

Vlad128

Вот отсюда уже видно, что степень, после которой не меняются ранги, — это максимальный размер клетки. Думаем, думаем =)

Julia080682

При различении клеток ищем ранг A-xE, возведённой в степень, равную числу различаемых клеток?

Vadim46

необязательно.
Надо просто выписать все возможные случаи. Найти ранг (A-xE)^2. Некоторые из случаев отсеятся. Если их останется больше одного, то найти ранг куба и т. д.

Vlad128

Таких сложных "общих правил" нету. От того, чтобы думать, не убежишь. Пойди путем, который предложила .
Тут хорошая мысль: матрица, которая уже приведена к жордановой форме - очень удобный пример для проверки всего-всего. Вот с таких матриц и надо начать. Там сразу же на диагонали будут нули.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: