Неравенство Буняковского-Шварца

Pentan

Помогите, пожалуйста, его доказать, а главное, объяснить с воспроизводимым эффектом.
Отблагодарю чем хотите *в разумных количествах*.

Pentan

Помогите, пожалуйста, его доказать, а главное, объяснить с воспроизводимым эффектом.
Отблагодарю чем хотите *в разумных количествах*.

svetik5623190

Любое утверждение о конечном числе векторов - это факт конечномерного анализа, что следует из теоремы: вещественные конечномерные евклидовы пространства изоморфны <=> их размерности равны.
Просто рассматриваем линейную оболочку всех векторов, участвующих в утверждении, а дальше перетаскиваем все знакомые и любимые результаты о скалярных произведениях, порождённых ими нормах и топологиях из R^n, и по теореме они будут верны в линейной оболочке.
Поэтому неравенство о том, что квадрат скалярного произведения двух векторов в любом вещественном евклидовом пространстве не превосходит произведения квадратов норм векторов, следует из того, что это верно в R^2. А в R^2 скалярное произведение определено как произведение длин векторов на косинус угла между ними, и неравенство очевидно из ограниченности модуля косинуса единицей.
Второй способ доказательства, менее изящный, зато годящийся и для комплексного случая, есть в любом учебнике функана и основан на том, что скалярный квадрат есть неотрицательное вещественное число и свойствах квадратного трёхчлена.

kachokslava

Поэтому неравенство о том, что квадрат скалярного произведения двух векторов в любом вещественном евклидовом пространстве не превосходит произведения квадратов норм векторов, следует из того, что это верно в R^2. А в R^2 скалярное произведение определено как произведение длин векторов на косинус угла между ними, и неравенство очевидно из ограниченности модуля косинуса единицей.
на ММ скалярное произведение определяется не так.
... билинейная симметричная квадратичная форма ... бла-бла-бла

svetik5623190

я воспользовался самым простым (и удобным в данной ситуации) из эквивалентных определений, а именно - школьным
А вообще, на ММ, видимо, портят людей билинейными формами
Приятно взять пластмассовый ножик из школьной столовой и разрезать им металлический прут толщиной 2 см Главное - грамотно им пользоваться

NHGKU2

Сабжи разные бывают: для сумм, ск. произведений, интегралов; в конечномерном и бесконечномерном пространстве... Какое именно надо?

svetik5623190

 2
А ещё бывает для рядов. Это всё одно и то же, и (бес)конечномерность пространства тут ни при чём.
Для ск. произведений в абстрактном вещественном гильбертовом пространстве:
(a,b)^2 <= (a,a)*(b,b). Как доказывать - я писал, см. выше (опираемся на то, что это верно в R^2, которое изоморфно линейной оболочке a и b, если а и b лин. незав. Если лин. зав, то неравенство очевидно, а так же оно верно потому, что лин. оболочка a и b и в этом случае лежит в R^2, а в R^2 неравенство выполнено ). Либо - стандартное доказательство через трёхчлен.
Теперь расмотрим:
 
1. R^n, введём там ск. произведение (x,y) = \sum_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}.
2. l_{2}, введём там ск. произведение (x,y) = \sum_{k=1}^{\infty} x_{k}y_{k}.
3. L^{2} (K введём там ск. произведение (x,y) = \int_{K} x_{t}y_{t} \mu(dt).
Поскольку во всех этих пространствах (по доказанному для R^2) неравенство верно, то получаем неравенства Коши-Буняковского:
В случае 1 для сумм, в случае 2 для рядов, в случае 3 для интегралов.

svetik5623190

2
Девушка, ход рассуждений ясен?
2 all
Кстати, в КФ 1972 года в сноске на стр 45 содержится ещё одно доказательство этого неравенства. Но оно мне нравится меньше. Принадлежит оно, вероятно, самому Колмогорову, очень в его стиле: доказательство-вспышка.

Alexx13

Пусть L - линейное пространство над |R; x, y из L, t - из |R, - произвольные элементы.
(*,*):L x L->|R - скалярное произведение в L. Тогда по свойствам билинейности, симмметричности и неотрицательности скалярного квадрата скалярного произведения имеем:
(x+ty,x+ty)=(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t^2 >=0 для всех t -> дискриминант квадратного трёхчлена
D/4=(x,y)^2-(x,x)*(y,y)<=0, а это и есть неравенство Коши-Буняковского-Шварца (в случае y=0 оно также, очевидно, верно)

Pentan

Неравенство в теме многомерных пространств.

Pentan

А вам так не понятно?

svetik5623190

Ну вот, уважаемый представил и классическое доказательство.
Думаю, теперь тема раскрыта полностью

svetik5623190

пишет:
Неравенство в теме многомерных пространств.
Тогда Вам подойдёт или пункт 1 моего доказательства, или доказательство в книге "Элементы теории функций и функционального анализа" А.Н.Колмогорова и С.В. Фомина (см выше). Так же есть оригинальный вывод этого неравенства из неравенства Янга, где посмотреть - не знаю.
PS (сорри за оффтопик): а страничка ваша в ЖЖ произвела на меня неприятное впечатление. Она навевает мысли о том, что всё вокруг плохо, люди - полные уроды, а мир вокруг - жесток и отвратителен. Может, не так всё плохо?
Мой научрук О.Г.Смолянов как-то на семинаре сказал:
"Человек, у которого помойка в душЕ, думает, что помойка - вокруг него. Но он ошибается."
Задумайтесь.

Pentan

Всем спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: