Дифференциальное неравенство

stream_24

Верно ли следующее неравенство:
[math][res=200]{\[   \sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{d^n}{dx^n}\left[\frac{\sin x}{x}\right]\right|\leq \frac{1}{n+1}\ \forall n \in \mathbb{N}\]}  [/math]
Если да, то как это проще всего показать?

svetik5623190

[math][res=300]$   \left| \frac{d^n}{dx^n}\left[\frac{\sin x}{x}\right]\right|\leq \frac{1}{n+1}\ \forall x\in\mathbb{R}, n \in \mathbb{N}  $ [/math]

svetik5623190

Попробуй по индукции порассуждать... Может, докажешь, а может, поймёшь, почему неверно.

stream_24

идея здравая, но индуктивный переход сделать не получается:(

lenmas

В Демидовиче есть пример (тема "Дифференцирование по параметру интеграла" из которого там же предлагается вывести вывести твое неравенство.
Блин, что за студенты пошли, уже Демидовича не читают :crazy:

svetik5623190

Видно, что максимальные значения (любой производной) должны, вероятно, достигаться при небольших икс. Так что я бы построил в какой-нить проге графики первых 10 производных в пределах от -4 до 4 и посмотрел на них. Возможно, наведёт на какие-то мысли.

svetik5623190

В Демидовиче есть пример
В Демидовиче очень и очень сложные задачки иногда попадаются, между прочим :) Неочевидные, по крайней мере.

lenmas

Там как раз очевидно, и в задаче как раз указание есть.

svetik5623190

Не тогда топикстартеру осталось только найти задачнк или решебник (анти)демидовач.

Grosso

Без огр. общности x>0. При n=0 это известное неравенство.
2. Из разложенния в ряд sin(x) получаем разложение sin(x)/x.
3. Дифференецируем ряд один раз. Изучив, чем отличается полученный ряд от ряда для sin(x делаем вывод, что [d(sin(x)/x]/dx <= 1/3.
4. Дифференцируем еще раз. Получаем оценку [d(sin^2(x)/x]/dx^2 <= 1/3.
5. Снова дифференцируем. При дифференцировании первое слагаемое пропадает, [d(sin^3(x)/x]/dx^3 <= 1/4.
6. Здесь уже должно быть все очевидно.

Grosso

Какой ты стремный :(

svetik5623190

Егор, ты?

Grosso

Не, не верно. Это "решение" годится только для 0<x<1.

Grosso

Нет, Егор не я :)

stream_24

спасибо за точное указание на источник задачи - было подозрение, что неравенство - известное.
Есть идеи, как доказать исходное неравенство, не прибегая к представлению функции в виде интеграла, зависящего от параметра?

lenmas

Есть идеи, как доказать исходное неравенство, не прибегая к представлению функции в виде интеграла, зависящего от параметра?
Вычисли производную произведения по формуле Лейбница, потом примени формулу Тейлора с центром в точке x с остаточным членом в форме Лагранжа. Только не уверен, что этот способ проще.

stream_24

А можно поподробнее написать для n=1 - не вычисление производной, разумеется, а применение ф-лы Тейлора?
PS проще, конечно, следовать указаниям из Демидовича, но догадаться до указанной подстановки весьма проблематично (на мой взгляд).

svetik5623190

А можно поподробнее написать для n=1 - не вычисление производной, разумеется, а применение ф-лы Тейлора?
Разложим синус по формуле Тейлора до порядка эн. Поделим на икс обе части равенства. Получили разложение исходной функции до порядка (эн минус один).

lenmas

А можно поподробнее написать для n=1 - не вычисление производной, разумеется, а применение ф-лы Тейлора?
А почему для n=1, а не сразу для произвольного n? Вроде бы ж формула Лейбница (не правило Лейбница!) для производной произвольного порядка как раз пишется :crazy:

stream_24

А дальше что делать?:)

svetik5623190

А я-то откуда знаю? Вопрос был - как формулу Тейлора записать. Ну я и сказал.

NHGKU2

А дальше что делать?:)
Зависит от того, что получилось на предыдущем этапе.
Могу посоветовать также посмотреть задачу 1232(б) из того же Демидовича, оттуда (и из ф-лы Тейлора для sin и cos в 0) следует неравенство для четных n, можно наверное и для нечетных решение модифицировать немного.

stream_24

Да, для четных я уже доказал (естественно лучше дифференцировать не f(x)=sin(x)/x, a [xf(x)] а как быть с нечётными n пока непонятно :confused: . Потому и прошу причести пример доказательства хотя бы для случая n=1 (естественно, предполагаю, что обоснование должно быть в обобщаемом на случай любого n виде).

lenmas

В общем, держи решение
[math]  \begin{multline*}  \Bigl(\frac{\sin x}x\Bigr)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^k\Bigl(\frac1x\Bigr)^{(n-k)}(\sin x)^{(k)}=\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(-1)^{n-k}(n-k)!}{x^{n-k+1}}(\sin x)^{(k)}=\\  =\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}\Bigl(\sin x+\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^kx^k}{k!}(\sin x)^{(k)}\Bigr)  \end{multline*}  [/math]
Это все напоминает формулу Тейлора с начальной точкой x и конечной точкой 0. Поэтому применим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
[math]  $$  \sin0=\sin x+\sum_{k=1}^n\frac{(\sin x)^{(k)}}{k!}(0-x)^k+\frac{(\sin\xi)^{(n+1)}}{(n+1)!}(0-x)^{n+1},  $$  [/math]
где кси --- некоторая промежуточная точка между x и 0. Подставляя это равенство в предыдущее, получим
[math]  $$  \Bigl(\frac{\sin x}x\Bigr)^{(n)}=\frac{(\sin\xi)^{(n+1)}}{n+1}.  $$  [/math]
Так как любая производная синуса это либо синус, либо косинус с каким-то знаком, то отсюда и следует неравенство.

Lene81

Хорошее доказательство!
Предлагаю следующее развитие этой задачи. Кажется интуитивно понятным, что данное неравенство обращается в равенство в некоторой окресности нуля. Интересно было бы получить неулучшаемую оценку по размеру этой окрестности. Для четных производных, вроде, получается максимум в нуле, а для нечетных?

lenmas

Кажется интуитивно понятным, что данное неравенство обращается в равенство в некоторой окресности нуля. Интересно было бы получить неулучшаемую оценку по размеру этой окрестности.
Че-то не понял, что ты имеешь в виду :grin:

Lene81

Глобальный экстремум производной sin(x)/x (обращающий неравенство в равенство) лежит в окресности нуля, это, вроде, должно быть ясно. Вопрос, на каком расстоянии по x?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: