Что быстрее выпадет: орел-решка или две решки?

antcatt77

Алиса кидает монетки до тех пор, пока не получит решку, следующую за орлом.
Боб – до тех пор, пока не получит две решки подряд.
Сколько в среднем понадобится бросков Алисе? Сколько Бобу? Кто чаще будет выигрывать?
Монетка последовательно кидается сто раз.
Алиса ставит на количество выпадений подпоследовательности орел-решка.
Боб ставит на количество выпадений подпоследовательности решка-решка. (Решка-решка-решка = две решка-решка.)
Сколько в среднем выиграет Алиса? Сколько Боб? Кто больше?

mtk79

В первой задаче монетки кидаются независимо Алисой и Бобом?
Т.е. это как бы две разных задачи на два разных эксперимента, а не игра "кто быстрее, и при победе одного из них серия прекращается"?

antcatt77

Т.е. это как бы две разных задачи на два разных эксперимента
Да, две разные задачи.

moisha24

Пусть $q$ - вероятность того, что пара из $(n-1)$-ой и $n$-ой монеты является парой нужной нам, $p=1-q$. Тогда первый момент появления нужной пары можно посчитать так:
$$M=2q+3pq+4p^2q+\dots = q1+p+p^2+\dots)+(1+2p+3p^2+\dots=q(\frac{1}{1-p}+\frac{1}{(1-p)^2})=\frac{q(2-p)}{(1-p)^2}$$.
В первой задаче для каждой подзадачи $q=\frac{1}{4}$, поэтому $M=5$.

antcatt77

В первой задаче для каждой подзадачи $q=\frac{1}{4}$, поэтому $M=5$.
видел другой ответ.

griz_a

Это очень старые и известные задачи. Мне кажется, что даже про Алису и Боба известная формулировка, видел что-то похожее в puzzles in TP and MS
1) Сколько бросков кому в среднем надо
Пусть X - время Боба, P(решки) = p
Тогда
[math]$ EX = E(X|o)\cdot(1-p) + E(X|po)\cdot (1-p)\cdot p + E(X|pp) \cdot p^2 = (1-p) + 2\cdot(1-p)\cdot p + 2\cdot p^2 + EX\cdot 1-p)+(1-p)\cdot p)  $[/math]
откуда
[math]$EX = (1+p)/p^2 $[/math]
Y - время Алисы. Тут вообще в копейку выписывается среднее, потому что время до ОР - это длина серии из начальных решек + 1 (upd) + длина серии начальных орлов + 1, т.е.
[math]$EY =  p/(1-p) + (1-p)/p + 2 = \frac{1}{(1-p)p} $[/math]
В частности при p=0.5 имеем
EX = 6, EY = 3(upd +1 = 4)
Это, в целом, логично, поскольку для Боба нужно чтобы орлы начали подряд падать, а Алиса просто ждет конца первой серии орлов.

griz_a

) Теперь про 100 бросаний. Наша величина в обоих случаях просто сумма индикаторов того, что на i,i+1 месте стоят нужные величины по всем i=1...99
Тогда у Алисы среднее число успехов 99p(1-p у Боба 99p^2. При p=0.5 итог один и тот же

mtk79

можно посчитать так:
тут как бы нужно обоснование, хотя даже из одинаковости ответов очевидна неправильность

griz_a

У него просто пары (i,i+1) и (i,i-1) считаются независимыми, поэтому оба ответа промазали мимо истины.

mtk79

EY = 3
у мя времени было мало на все подумать, но получилось 4

Polyphem

подтверждаю )

antcatt77

Это очень старые и известные задачи.
Меня восхитила задачка тем, что:
- частота выпадения пар одинакова
- "быстрота" выпадения пары - разная
Обеих пар поровну, но пары "решка-решка" распределены плотнее с друг другом, чем пары "орел-решка".

griz_a

Хм, число решек до первого орла в среднем 1, число орлов до первой решки - 1 и еще сама эта решка.

griz_a

Попробуй посмотреть на то, что будет происходить, если бросать симметричную монету до ООР или ОРР
Там один выигрывает вдвое чаще другого, если их садить вдвоем играть, хотя если посадить поодиночке, то они выигрывают за одинаковое время

mtk79

ХЗ. Видимо, в последовательности орлов в середине должно быть как минимум, одын орел, а в матожидании учитывается и 0 штук
У меня так получалось: пусть a_n --- число последовательностей из 0и 1 длины n, которые приводят к "бинго" для Алисы ровно на n-ом подбросе. Т.е. они заканчиваются 01 и в середине больше не было 01. Остальные как бы вычеркиваем.
Теперь ко ВСЕМ n-значным числам будем прибалять 0 и 1, но СПЕРЕДИ. Тогда уже вычеркнутые числа не дадут никакого профита, а из новых (n+1)- значных имеем так: те, что образованы старым 1.....01 дадут столько же, т.к. прибаляем только 1, а из старых 0...01 прибавляем и 0, и 1. Но таких старых чисел может быть только одно: 000...01. Поэтому a_{n+1}=a_{n}+1. Поскольку a_2=1 (01 то a_n=n-1. Отсюда [math]$p_n=\frac{n-1}{2^n}$[/math]. Умножаем на n, находим матож

griz_a

Мой облом был таким мощным, что даже флокал вылетел.
Геометрическое число решек + 1 орел + геометрическое число орлов + 1 решка = 1+ 1+ 1+1 же!

moisha24

Это очень старые и известные задачи. Мне кажется, что даже про Алису и Боба известная формулировка, видел что-то похожее в puzzles in TP and MS
1) Сколько бросков кому в среднем надо
Да, ты прав, моё решение подходит только лишь для задачи вычисления первого момента одинаковых (или разных) событий.
P.S. Доисправь ещё, что EY=4

elenakozl

Меня восхитила задачка тем, что:
- частота выпадения пар одинакова
- "быстрота" выпадения пары - разная
Обеих пар поровну, но пары "решка-решка" распределены плотнее с друг другом, чем пары "орел-решка".
Из книги "В интернете кто-то не прав" Аси Казанцевой:
Профессор Дебора Нолан, специалист по статистическим методам, часто предлагает своим студентам поучительное упражнение [17]. Одну группу она просит 100 раз подряд кинуть монетку и записать последовательность выпавших орлов и решек. Вторая группа монетку не кидает, а просто выдумывает последовательность. Получаются, например, такие ряды:
0001000010010100101001101111101110100000101111101010
001100101110110101101111011110001010000000001101
1101001100101110100101001110010000110110111001100011
001100111001011110010001010010010011010100100110
Можете ли вы отгадать, где настоящая последовательность бросков монетки, а где фальшивая? Дебора справляется с этой задачей мгновенно. Когда последовательность орлов и решек рисует человек, он старается сделать так, чтобы она выглядела правдоподобно, и для этого избегает слишком длинных рядов одинаковых значений. Сама падающая монетка такими тонкостями не заморачивается и спокойно может упасть одной и той же стороной 9 раз подряд. Верхняя последовательность – это настоящие броски монетки, нижняя – выдуманные.
17. http://slightlytilted.wordpress.com/tag/coin/
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: