Идеальная нить что такое

Polyphem

Определение: Нить называется идеальной, если силы натяжения в каждой точке направлены по касательной к нити.
Модель i> Рассматривается идеальная нерастяжимая нить в поле силы тяжести. Нить однородна с некой положительной плотностью. Оба конца нити закреплены.
Модель i> Рассматривается идеальная растяжимая нить в поле силы тяжести. Нить однородна с некой положительной плотностью. Оба конца нити закреплены.
Вопрос i> Каким образом для данных постановок может быть выполнен второй закон Ньютона?
Вопрос i> В данных постановках нить перестаёт быть идеальной?
Немного более неформально. Рассмотрим некий кусок нити в середине. Если силы натяжения направлены по касательной, то какая сила уравновешивает силу тяжести?
Спасибо.

otlichnica

Очевидно, в определение идеальности входит безмассовость, иначе ты получаешь простую физическую модель, в которой нить провиснет по цепной линии

Martika1

> Рассмотрим некий кусок нити в середине. Если силы натяжения направлены по касательной, то какая сила уравновешивает силу тяжести?
Силы натяжения и уравновешивают. Тебя смущает, что эти силы противонаправлены? Так они противонаправлены только для точечного сегмента, а у точечного сегмента и сила тяжести нулевая.

elenakozl

Дано: невесомая, нерастяжимая, невидимая нить. Найти: нить. :grin:

Martika1

и нерастяжимость. Я это хотел написать, но подумал, что нестандартное определение идеальности человеку могли дать не по ошибке, а просто как вводную. Пусть будет "нить, идеальная в отношении направлений силы натяжения"

tester1

Рассмотри маленький кусок нити как отрезочек или брусочек, и запиши 2 закон Ньютона и закон Гука для него. При этом на один конец будет действовать сила Т(х), а на второй Т(х+ дельа х). Далее учти, что угол наклона равен производной от формы нити, так составишь диффур на уравнение нити. Я так на 1 курсе делал. Для нерастяжимой нити получается гиперболический косинус. Для растяжимой я не делал, но должно получиться тем же методом. Запости решение, глянем на досуге :)

Martika1

> Я так на 1 курсе делал
а я в 10 классе :cool: пришлось решать дифур, не зная слова "дифур". Точнее, я решал задачу о поверхности мыльной пленки, но там катеноид, дающий в сечении ту же цепную линию, что и массивная нить.

otlichnica

Не из зфтш ли? :)

Polyphem

Очевидно, в определение идеальности входит безмассовость.
Я полагаю, что это неверное утверждение. Идеальность говорит только о направлении сил натяжения. Рассмотри груз висящий на вертикальной нити. Если нить безмасовая, то это просто означает, что натяжение в каждой точке нити одно и тоже. Если есть масса, то натяжение будет увеличиваться в направлении точки подвеса. И в том, и в другом случае нить идеальна.
Тебя смущает, что эти силы противонаправлены?
Это я, как мне кажется, понимаю вполне. Рассмотрим крайний случай. Нить подвешена горизонтально. Расстояние между точками подвеса равно длине нити. Нить нерастяжима. Сила тяжести действует вертикально. Каким образом натяжение, которое действует по касательной к нити, может уравновестиь эту силу?

Polyphem

Если взять твой способ и устремить концы нити к положению, когда расстояние между ними равно длине нити, то натяжине не будет ли стремиться к бесконечности?

tester1

Если взять твой способ и устремить концы нити к положению, когда расстояние между ними равно длине нити, то натяжине не будет ли стремиться к бесконечности?
будет, конечно

Polyphem

Имеет ли тогда смысл положение, когда расстояние между концами нити равно её длине? Каким образом интепретировать для него законо Ньютона?

tester1

> Я так на 1 курсе делал
а я в 10 классе пришлось решать дифур, не зная слова "дифур". Точнее, я решал задачу о поверхности мыльной пленки, но там катеноид, дающий в сечении ту же цепную линию, что и массивная нить.
я впервые пробвал в 9 классе, потому что как раз матан тогда узнал в общих чертах из книжки Банаха. но дифур решить не смог, было очень много переменных
а на 1 курсе я понял, что надо правильно выбрать систему координат, тогда и дифур получается попроще, и начальные/краевые условия к нему пишутся естественным образом. дифур получился сложный, но я проверил, что решение единственно, а потом (зная в общих чертах, что должно получиться) подобрал его и проверил, что уравнение и условия выполняются.

tester1

идеальную нить с массой просто нельзя растянуть прямолинейно горизонтально и всё. но можно сколь угодно близко к этому положению.

Polyphem

Спасибо, Ваня.
Я это понимал в "житейском" смысле, поэтому и задал вопрос про стремление натяжения к бесконечности.
А как правильно мыслить?
* Предельный случай невозможен, потому что для него не выполнен закон Ньютона.
* Для предельного случая невыполнен закон Ньютона, поэтому он невозможен
* Если предпложить возможность предельного случая, то необходимо ввести новый закон :-)

Sergey79

ты ставишь вопрос таким образом:
я нарисовал на бумаге горизонтальную прямую
объявил что у этой прямой есть масса
нарисованная прямая не изогнулась
почему?

Polyphem

Хорошая аналогия.
Скорее даже так.
a) Нарисовал объект
b) Потребовал от него каких-то свойств
c) Получил, что физический закон невыполняется.
Возможно, я ввёл какие-то неправильные свойста.
Однако, далее взял ластик и изменил объект на эпсилон, не меняя свойств. Система a), b) c) стала совместной.
Поэтому стал думать, может быть, можно изменить свойства на эпсилон, чтобы всегда получать совместную систему.

zombzone

А как правильно мыслить?
Предельный случай невозможен, т.к. в нём возникают бесконечные силы.

zombzone

a) Нарисовал объект
b) Потребовал от него каких-то свойств
c) Получил, что физический закон невыполняется.
Возможно, я ввёл какие-то неправильные свойста.
Однако, далее взял ластик и изменил объект на эпсилон, не меняя свойств. Система a), b) c) стала совместной.
Что ты изменил на эпсилон и какой физический закон после этого не выполняется?
Второй закон Ньютона будет выполнятся для всех непредельных случаев в данной задаче.

Polyphem

Что ты изменил на эпсилон

Я сдвинул конце нити на эпсилон друг к другу.
и какой физический закон после этого не выполняется?
Наоборот, выполняется.
Второй закон Ньютона будет выполнятся для всех непредельных случаев в данной задаче.
Да, ты всё верно пишешь.
Прошу прощения, но мне нужно взять паузу, чтобы всё хорошенько обдумать.

Sergey79

да тут думать нечего особо:
берешь реальную задачу, а потом переходишь к пределам по тому или иному параметру. Иногда результат оказывается зависим от порядка взятия пределов. Так и должно быть, в этом нет никакого глубокого смысла.

eremastream

Ты просто не сможешь такую нить натянуть горизонтально, она у тебя порвется.

Polyphem

Запости решение, глянем на досуге
В общем, я немного повозился с арифметикой.
Кому интересно, смотрите ниже.
Пусть в состоянии равновесия нить приняла форму некой кривой. Пусть [math]$s$[/math] - натуральный параметр этой кривой, [math]$T(s)$[/math] - натяжение, [math]$\tau(s)$[/math] - вектор скорости (или касательной) к кривой в состоянии равновесия. Поскольку параметр натуральный [math]$| \tau | = 1$[/math]. Тогда закон Ньютона имеет форму [math] $\frac{d(T \cdot \tau)} {ds} = -\rho \cdot g$ [/math], где [math]$\rho$[/math] плотность нити в состоянии равновесия. Если нить нерастяжимая и однородная, то плотность - константа, не зависящая от [math]$s$[/math], иначе, плотность зависит от каждой точки нити, поскольку в разных точках нить растянута по-разному. Единственное, что должно выполняться - это закон сохранения массы, то есть если предположить, что существует состояние нити, при котором она однородна (то есть плотность) не зависит от точки нити, то должно выполняться [math]$\rho_{0} ds_{0} = \rho ds$[/math] или [math]$\rho = \rho_{0} \frac{ds_{0}}{ds}$[/math] Одна из моделей, которые применяются на практике, - это закон Гука, то есть [math]$ds = (1 + a T) ds_0$[/math], где [math]$a = 0$[/math] соответствует случаю нерастяжимой нити. Таким образом, получаем систему [math]$\frac{d(T\tau)}{ds} = -\frac{\rho_0}{1 + a T}g$[/math], или в проекциях на оси x и y ([math]$\tau = (x'(s), y'(s))$[/math])
[math]$T(s) x'(s) = C_1$[/math]
[math]$(1 + aT) \frac{d(T y'(s))}{ds} = -\rho_0 g$[/math]
[math]$(x'(s))^2 + ((y'(s)))^2 = 1$[/math]
Если параметр [math]$a = 0$[/math], то есть нить нерастяжима, то первый два уравнения инегрируются в явном виде и после несложных преобразований получается уравнение цепной линии. Если [math]$a > 0$[/math], то у меня проинтегрировать не получилось. Однако, можно получить кривую, заданную параметрически, если из первого уравнения выразить [math]$T$[/math] и подставить во второе. Я до конца не довел, поэтому ответ не напишу. Если кому-то интересно, то могу попробовать еще раз продраться через вычисления.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: